[论文解读] Polarized endomorphisms of normal projective threefolds in arbitrary characteristic

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 10

一句话总结

本文研究任意特征下正常极化三复乘积上的极化自同态，证明对于可分的 $ q $-极化自同态，反 canonical 除子与一个有效 $ \mathbb{Q} $-Cartier 除子数值等价。在特定条件下建立了 $ f $-等变极小模型程序（MMP）的可运行性，并证明了在有理链连通三复乘积上，$ f $ 在 N\'eron-Severi 群模挠子群上的作用为标量作用。

ABSTRACT

Let $X$ be a projective variety over an algebraically closed field $k$ of arbitrary characteristic $p \ge 0$. A surjective endomorphism $f$ of $X$ is $q$-polarized if $f^\ast H \sim qH$ for some ample Cartier divisor $H$ and integer $q > 1$. Suppose $f$ is separable and $X$ is $\mathbb{Q}$-Gorenstein and normal. We show that the anti-canonical divisor $-K_X$ is numerically equivalent to an effective $\mathbb{Q}$-Cartier divisor, strengthening slightly the conclusion of Boucksom, de Fernex and Favre (Theorem C) and also covering singular varieties over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. Suppose $f$ is separable and $X$ is normal. We show that the Albanese morphism of $X$ is an algebraic fibre space and $f$ induces polarized endomorphisms on the Albanese and also the Picard variety of $X$, and $K_X$ being pseudo-effective and $\mathbb{Q}$-Cartier means being a torsion $\mathbb{Q}$-divisor. Let $f^{Gal}:\overline{X} o X$ be the Galois closure of $f$. We show that if $p>5$ and co-prime to $deg\, f^{Gal}$ then one can run the minimal model program (MMP) $f$-equivariantly, after replacing $f$ by a positive power, for a mildly singular threefold $X$ and reach a variety $Y$ with torsion canonical divisor (and also with $Y$ being a quasi-etale quotient of an abelian variety when $\dim(Y)\le 2$). Along the way, we show that a power of $f$ acts as a scalar multiplication on the Neron-Severi group of $X$ (modulo torsion) when $X$ is a smooth and rationally chain connected projective variety of dimension at most three.

研究动机与目标

• 将极化自同态的结果推广至任意特征下的正常、$ \mathbb{Q} $-Gorenstein 项目三复乘积。
• 在 $ q $-极化且可分的自同态条件下，证明 $ -K_X $ 数值等价于一个有效 $ \mathbb{Q} $-Cartier 除子。
• 证明 Albanese 映射为代数纤维空间，且 $ f $ 在 Albanese 与 Picard 族上诱导出极化自同态。
• 证明若 $ K_X $ 为拟有效且 $ \mathbb{Q} $-Cartier，则其为挠 $ \mathbb{Q} $-除子。
• 在 $ p > 5 $ 且 $ p \nmid \deg f^{Gal} $ 条件下，使 $ f $-等变 MMP 可运行于弱奇点三复乘积上，最终得到一个 canonical 除子为挠的代数簇。

提出的方法

• 使用满足 $ f^*H \sim qH $ 的 $ q $-极化自同态（其中 $ H $ 为非常 ample 除子，$ q > 1 $），以确保对除子的动态控制。
• 应用 $ f $ 的伽罗瓦闭包 $ f^{Gal} $ 来分析分歧与可分性条件。
• 将 $ f $ 替换为正幂次，以确保在 MMP 过程中保持 $ f $-等变性。
• 利用 N\'eron-Severi 群模挠子群，证明对于有理链连通三复乘积，$ f^k $ 在除子类上的作用为标量乘法。
• 将极小模型程序（MMP）适配为在 $ f $ 作用下等变运行，利用特征相关的假设。
• 利用 Albanese 映射的结构及其与 $ f $ 的相容性，推导出全局几何约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于 $ q $-极化自同态 $ f $，反 canonical 除子 $ -K_X $ 数值等价于一个有效 $ \mathbb{Q} $-Cartier 除子？
• RQ2 在可分的 $ q $-极化自同态 $ f $ 作用下，$ X $ 的 Albanese 映射行为如何？
• RQ3 当 $ K_X $ 为拟有效且 $ \mathbb{Q} $-Cartier 时，其在该类自同态下的 canonical 除子结构为何？
• RQ4 当 $ p > 5 $ 且 $ p \nmid \deg f^{Gal} $ 时，是否可在正特征下对三复乘积运行 $ f $-等变极小模型程序？
• RQ5 对于有理链连通光滑三复乘积，$ f $ 在 N\'eron-Severi 群模挠子群上的作用行为如何？

主要发现

• 对于 $ \mathbb{Q} $-Gorenstein 正常三复乘积上的 $ q $-极化且可分的自同态，反 canonical 除子 $ -K_X $ 数值等价于一个有效 $ \mathbb{Q} $-Cartier 除子。
• $ X $ 的 Albanese 映射为代数纤维空间，且 $ f $ 在 Albanese 与 Picard 族上诱导出极化自同态。
• 若 $ K_X $ 为拟有效且 $ \mathbb{Q} $-Cartier，则 $ K_X $ 为挠 $ \mathbb{Q} $-除子。
• 当 $ p > 5 $ 且 $ p \nmid \deg f^{Gal} $ 时，通过将 $ f $ 替换为正幂次，可运行 $ f $-等变 MMP，最终得到一个 canonical 除子为挠的代数簇 $ Y $。
• 对于光滑且有理链连通的三复乘积，$ f $ 的某个幂次在 N\'eron-Severi 群模挠子群上作用为标量乘法。
• 当 $ \dim(Y) \leq 2 $ 时，所得代数簇 $ Y $ 为某个阿贝尔簇的准 étale 商。