[论文解读] Problems on automorphism groups of nonpositively curved polyhedral complexes and their lattices

Benson Farb, G. Christopher Hruska+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 86被引用 15

一句话总结

本文提出了关于非正曲率多面复形及其格的自同构群的一系列开放问题，重点关注非树积的二维复形。研究探讨了这些群的结构、几何与动力学性质，类比经典代数群与树格，主要贡献包括将双自动性结果扩展至各类CAT(0)和systolic复形中的均匀格。

ABSTRACT

The goal of this paper is to present a number of problems about automorphism groups of nonpositively curved polyhedral complexes and their lattices, meant to highlight possible directions for future research.

研究动机与目标

• 将代数群与树格的格理论推广至高秩、非正曲率多面复形。
• 理解CAT(0)与systolic复形自同构群的结构与动力学，尤其关注二维情形。
• 研究在线性与双曲情形中已知的性质（如双自动性、有限性与刚性）是否可推广至更一般的几何群论背景。
• 识别分析非积型、非正曲率复形自同构群中格所需的新型现象与技术。
• 提出研究议程，突出几何群论中超越经典情形的新挑战与研究方向。

提出的方法

• 使用涉及基本域中顶点稳定子的组合体积公式，分析格的性质。
• 改编几何群论中的技术，包括词度量、动力系统以及在CAT(0)与systolic复形上的作用。
• 应用Gersten–Short、Niblo–Reeves以及Januszkiewicz–Świ{ą}tkowski在特定复形类中的双自动性结果。
• 利用建筑物理论、Kac–Moody群与复形群理论，将秩1与秩2情形的已知结果推广。
• 运用共轭与塔构造技术，研究给定群中格的渐近增长。
• 采用相对双曲性与孤立平坦子域技术，将双自动性结果扩展至建筑物与Davis–Moussong复形中的格。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非正曲率多面复形的自同构群是非离散或简单的？
• RQ2 线性群的性质（如刚性、词度量几何与动力系统）在多大程度上可推广至非正曲率复形的自同构群？
• RQ3 所有在CAT(0)二维复形上作用良好且共(compact)的均匀格是否都是双自动的？
• RQ4 包含一个固定均匀格的给定有限指数格的数量的渐近行为如何？
• RQ5 复形的自同构群在何时允许格的塔结构，这对格空间的结构意味着什么？

主要发现

• 由Gersten–Short建立，并由他人扩展，CAT(0)正方形复形、三角形-正方形复形与欧氏建筑物中的均匀格是双自动的。
• 由Niblo–Reeves证明，有限生成的右-angled Coxeter群与Artin群，以及CAT(0)立方复形中的均匀格，均为双自动。
• 由Januszkiewicz–Świ{ą}tkowski证明，systolic群——即在systolic单纯复形上作用的均匀格——是双自动的。
• 由Caprace与Świ{ą}tkowski证明，具有孤立平坦子域的Coxeter群，其关联建筑物中的均匀格是双自动的。
• 包含固定均匀格的指数为$n$的格的数量，记为$u_Γ(n)$，是有限的，且可被界定；对右-angled建筑物存在下界。
• 在局部域上的高秩代数群中，当$n$足够大时，$u_Γ(n) = 0$，表明与可构造塔的建筑物存在显著差异。