[论文解读] Process-Based Risk Measures for Observable and Partially Observable Discrete-Time Controlled Systems

Jingnan Fan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 43被引用 3

一句话总结

本文为离散时间受控随机系统引入了基于过程的风险度量，定义了一种新的条件随机时间一致性形式。研究证明，这些风险度量可通过状态泛函上的静态、分布不变风险度量表示，从而为完全可观测和部分可观测的马尔可夫过程建立动态规划方程。

ABSTRACT

For controlled discrete-time stochastic processes we introduce a new class of dynamic risk measures, which we call process-based. Their main features are that they measure risk of processes that are functions of the history of the base process. We introduce a new concept of conditional stochastic time consistency and we derive the structure of process-based risk measures enjoying this property. We show that they can be equivalently represented by a collection of static law-invariant risk measures on the space of functions of the state of the base process. We apply this result to controlled Markov processes and we derive dynamic programming equations. Next, we consider partially observable processes and we derive the structure of stochastically conditionally time-consistent risk measures in this case. We prove that they can be represented by a sequence of law invariant risk measures on the space of function of the observable part of the state. We also prove corresponding dynamic programming equations.

研究动机与目标

• 开发一类新的动态风险度量——基于过程的度量，用于评估受控随机过程整个路径的风险。
• 在基于过程的风险度量背景下，定义并表征条件随机时间一致性。
• 推导受控马尔可夫过程在这些风险度量下的动态规划方程。
• 将该框架扩展至部分可观测系统，其中仅可观测到状态的子集。
• 证明在部分可观测情况下，随机条件时间一致的风险度量可表示为可观测函数上的分布不变风险度量。

提出的方法

• 将基于过程的风险度量定义为基本过程整个历史的泛函，以捕捉路径依赖的风险。
• 提出一种新的条件随机时间一致性概念，确保风险评估在时间上的一致性。
• 证明满足时间一致性的基于过程的风险度量等价于状态函数上的静态、分布不变风险度量集合。
• 将该表示应用于受控马尔可夫过程，推导出类似贝尔曼方程的动态规划方程。
• 通过聚焦于状态空间的可观测部分，将该框架扩展至部分可观测系统。
• 证明在部分可观测情况下，随机条件时间一致的风险度量可表示为可观测状态函数上的分布不变风险度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为依赖于过程整个路径而非仅终值的受控随机过程定义风险度量？
• RQ2 在受控系统中，路径依赖风险度量的适当时间一致性概念是什么？
• RQ3 满足时间一致性的基于过程的风险度量能否通过状态函数上的静态、分布不变风险度量表示？
• RQ4 在完全可观测的马尔可夫过程中，基于过程的风险度量如何引出动态规划方程？
• RQ5 在部分可观测系统中，随机条件时间一致的风险度量具有何种结构？

主要发现

• 满足条件随机时间一致性的基于过程的风险度量等价于在基本过程状态函数上定义的静态、分布不变风险度量集合。
• 在基于过程的风险度量下，可为受控马尔可夫过程推导出动态规划方程，从而实现顺序优化。
• 在部分可观测情况下，随机条件时间一致的风险度量可由可观测状态函数上的分布不变风险度量序列表示。
• 在部分可观测设定下的表示确保了尽管信息不完整，风险评估仍能保持时间上的一致性。
• 该框架为在受控随机过程中系统性地引入风险规避性提供了方法，同时保持了动态一致性。
• 该结果将现有的风险规避动态规划推广至具有路径依赖风险评估和部分可观测性的系统。