[论文解读] Products and sums divisible by central binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文建立了涉及中心二项式系数与卡塔兰数的新可除性性质，证明了 $4(2n+1)\binom{2n}{n}$ 整除某些二项式系数幂的加权和。通过 WZ 方法与组合恒等式，推导出可除性结果，并对与拉马努金型 $1/\pi$ 级数相关的序列的 $p$-进同余与生成函数提出猜想。主要贡献在于提出一类新型算术可除性定理，其与超几何级数及 zeta 函数的特殊值相关。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of products and sums divisible by central binomial coefficients. We show that 2(2n+1)binom(2n,n)| binom(6n,3n)binom(3n,n) for every n=1,2,3,... Also, for any nonnegative integers $k$ and $n$ we have $$\binom {2k}k | \binom{4n+2k+2}{2n+k+1}\binom{2n+k+1}{2k}\binom{2n-k+1}n$$ and $$\binom{2k}k | (2n+1)\binom{2n}nC_{n+k}\binom{n+k+1}{2k},$$ where $C_m$ denotes the Catalan number $\binom{2m}m/(m+1)=\binom{2m}m-\binom{2m}{m+1}$. Applying this result we obtain two sums divisible by central binomial coefficients.

研究动机与目标

• 建立涉及中心二项式系数 $\binom{2n}{n}$ 与卡塔兰数 $C_n$ 的新可除性结果。
• 证明 $4(2n+1)\binom{2n}{n}$ 整除如下形式的和：$\sum_{k=0}^{n}(4k+1)\binom{2k}{k}^3(-64)^{n-k}$ 与 $\sum_{k=0}^{n}(20k+3)\binom{2k}{k}^2\binom{4k}{2k}(-2^{10})^{n-k}$。
• 研究序列 $S_n = \frac{\binom{6n}{3n}\binom{3n}{n}}{2(2n+1)\binom{2n}{n}}$ 的算术性质，包括其生成函数及猜想的 $p$-进与奇偶性性质。
• 提出并探讨 $S_n$ 与伴随序列 $T_n$ 的 $p$-进同余猜想，并将其与超几何级数及 zeta 函数值联系起来。

提出的方法

• 通过 WZ（威尔夫-齐勒伯格）方法证明可除性，利用递推关系与叠缩恒等式。
• 通过分析 $p$-进赋值并使用涉及下取整函数与小数部分的辅助不等式，证明和的可除性。
• 定义序列 $S_n$ 与 $T_n$，并推导其生成函数：当 $|x| < 1/108$ 时，$\sum_{k=0}^\infty S_k x^k = \frac{\sin(\frac{2}{3}\arcsin(6\sqrt{3x}))}{8\sqrt{3x}}$。
• 使用符号计算（Mathematica）推导出涉及 $S_k$ 与 $T_k$ 的无穷级数的闭式，例如 $\sum_{k=0}^\infty \frac{S_k}{108^k} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$。
• 应用 WZ 方法验证与拉马努金型 $1/\pi$ 级数相关的恒等式，包括涉及 $\sum \binom{2k}{k}^3 / (-64)^k$ 与 $\sum \binom{2k}{k}^2\binom{4k}{2k} / (-2^{10})^k$ 的恒等式。
• 提出 $S_n$ 与 $T_n$ 的 $p$-进同余猜想，例如对素数 $p > 3$，有 $S_p \equiv 15 - 30p + 60p^2 \pmod{p^3}$ 与 $T_p \equiv -2 \pmod{p}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有正整数 $n$，是否都有 $4(2n+1)\binom{2n}{n}$ 整除和式 $\sum_{k=0}^{n}(4k+1)\binom{2k}{k}^3(-64)^{n-k}$？
• RQ2 是否能通过组合方法或 $p$-进分析证明 $\binom{2k}{k} \mid \binom{4n+2k+2}{2n+k+1}\binom{2n+k+1}{2k}\binom{2n-k+1}{n}$？
• RQ3 序列 $S_n = \frac{\binom{6n}{3n}\binom{3n}{n}}{2(2n+1)\binom{2n}{n}}$ 的算术结构为何？它是否具有组合解释或递推关系？
• RQ4 所提出的 $S_n$ 与 $T_n$ 的 $p$-进同余是否成立，例如当 $p \equiv \pm 1 \pmod{12}$ 时，是否有 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{S_k}{108^k} \equiv 0 \pmod{p}$？
• RQ5 序列 $\{S_n\}$ 是否存在闭式生成函数？该函数能否用于推导 $\zeta(3)$ 或 $1/\pi$ 的新级数？

主要发现

• 本文证明了 $4(2n+1)\binom{2n}{n}$ 整除和式 $\sum_{k=0}^{n}(4k+1)\binom{2k}{k}^3(-64)^{n-k}$，证实了文献 [S10b] 中的猜想。
• 同时证明了 $4(2n+1)\binom{2n}{n}$ 整除 $\sum_{k=0}^{n}(20k+3)\binom{2k}{k}^2\binom{4k}{2k}(-2^{10})^{n-k}$，扩展了已知的拉马努金型恒等式。
• 推导出 $S_n$ 的生成函数为 $\sum_{k=0}^\infty S_k x^k = \frac{\sin(\frac{2}{3}\arcsin(6\sqrt{3x}))}{8\sqrt{3x}}$，其中 $0 < x < 1/108$，且 $\sum_{k=0}^\infty \frac{S_k}{108^k} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$。
• 序列 $S_n$ 满足对奇素数 $p$ 有 $S_p \equiv 15 - 30p + 60p^2 \pmod{p^3}$，并猜想其为奇数当且仅当 $n$ 是 2 的幂。
• 提出伴随序列 $T_n$ 满足：当 $|x| \leq 1/(6\sqrt{3})$ 时，有 $\sum_{k=0}^\infty S_k x^{2k+1} + \frac{1}{24} - \sum_{k=1}^\infty T_k x^{2k} = \frac{\cos(\frac{2}{3}\arccos(6\sqrt{3}x))}{12}$，且对素数 $p$ 有 $T_p \equiv -2 \pmod{p}$。
• 本文猜想：对奇素数 $p \neq 3$，有 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2}(205k^2+160k+32)(-1)^k\binom{2k}{k}^5 \equiv 32p^2 + \frac{896}{3}p^5 B_{p-3} \pmod{p^6}$，该式与伯努利数相关。