[论文解读] Produits dans la cohomologie des variétés arithmétiques : quelques calculs sur les séries thêta

Nicolas Bergeron|ArXiv.org|Dec 15, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文研究了与正交群和酉群相关的算术流形上由θ级数导出的上同调类的上积。通过广义θ提升构造和Hecke-等变上同调技术，证明了这些θ类及其复共轭的任意上积在有限Hecke平移下几乎不为零，从而证实了这些群在上同调Langlands纲领中的一个关键预测。

ABSTRACT

For abelian varieties $A$, in the most interesting cohomology theories $H^* (A)$ is the exterior algebra of $H^1(A)$. In this paper we study a weak generalization of this in the case of arithmetic manifolds associated to orthogonal or unitary groups. In this latter case recall that arithmetic manifolds associated to standard unitary groups $U(p,q)$ ($p\geq q$) over a totally real numberfield have vanishing cohomology in degree $i=1, ..., q-1$ and that, following earlier works of Kazhdan and Shimura, Borel and Wallach constructed in \cite{BorelWallach} non zero degree $q$ cohomology classes. These cohomology classes arise as theta series. After generalizing the construction of these theta series. We prove that arbitrary (up to the obvious obstructions) cup-products of these theta series and their complex conjugates virtually non vanish, i.e. ``up to Hecke translate'', in the cohomology ring.

研究动机与目标

• 将经典结果‘阿贝尔簇的上同调是H^1上的外代数’推广至正交群和酉群相关的算术流形。
• 在O(p,q)和U(p,q)的对称空间的算术商背景下，研究上同调环的结构。
• 探究由θ级数导出的上同调类的上积是否在弱化的‘虚拟’意义下非零。
• 确认Bergeron（2006）关于算术局部对称空间上同调中上积非零的猜想性图像。
• 通过Hecke平移而非绝对非零性，建立非平凡上积的存在性。

提出的方法

• 通过Weil表示和θ提升，将θ级数构造为上同调类的方法进行推广。
• 利用射影θ提升，从对偶半单对上的自守形式构造度数为q的上同调类。
• 应用Borel–Wallach构造，通过θ级数在度数q上构造非零上同调类。
• 利用θ提升的Hecke-等变性，分析有限覆盖下上积的性质。
• 使用Siegel–Weil公式和Weil–Séquin公式，将θ提升与Eisenstein级数及上同调不变量联系起来。
• 应用自守形式理论和上同调诱导理论，分析上积的虚拟非零性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明与U(p,q)或O(p,q)相关的算术流形上由θ级数导出的上同调类的上积非零？
• RQ2 通过θ级数构造的上同调类在多大程度上生成非平凡的环结构？
• RQ3 这些θ类的上积是否具有虚拟非零性，即在Hecke平移下非零？
• RQ4 算术商的上同调环结构与阿贝尔簇的上同调之间有何关系？
• RQ5 在该设定下，能否证实关于Shimura簇上同调中上积非零的猜想性图像？

主要发现

• 任意两个θ级数上同调类（及其复共轭）的上积在有限Hecke平移下几乎不为零，即在平移后变为非零。
• 非零性通过关联Eisenstein级数 $ E(g', 1/2, f) $ 的非零性建立，该级数被证明作为 $ g' $ 的函数非零。
• θ提升构造在度数 $ q $ 上产生非零上同调类，推广了Borel和Wallach的早期结果。
• 通过上积在Hecke算子下的函子性及θ提升的Hecke-等变性，证明了上积的虚拟非零性。
• 对所有 $ g' $，上同调类 $ [ heta(g', heta)] $ 非零，这意味着在 $ H^*(Sh^0G) $ 的极限下，其关联上同调类非零。
• 该结果证实了Bergeron（2006）关于算术局部对称空间上同调环结构的关键预测，尤其在上同调Langlands纲领的背景下。