[论文解读] On Shimura varieties for unitary groups

Michael Rapoport, Brian D. Smithling+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文引入了一类新的酉群的希米亚瓦，统一表示具有附加结构的阿贝尔簇的模问题，将先前仅限于特殊型别的构造推广至更一般情形。该文建立了p-整模型与全局整模型，证明了这些模型的平坦性与光滑性，并表明它们自然容纳了甘–格罗丝–普拉萨德与库德拉–拉波波特猜想中至关重要的算术周期，相较于以往间接构造，提供了更几何化且可分析的框架。

ABSTRACT

This is a largely expository article based on our previous work on arithmetic diagonal cycles on unitary Shimura varieties. We define a class of Shimura varieties closely related to unitary groups which represent a moduli problem of abelian varieties with additional structure, and which admit interesting algebraic cycles. We generalize to arbitrary signature type the results of our previous work valid under special signature conditions. We compare our Shimura varieties with other unitary Shimura varieties.

研究动机与目标

• 为酉群定义一类新的希米亚瓦变体，使其能统一表示所有型别下具有附加结构的阿贝尔簇的模问题，突破以往仅限于特殊型别的限制。
• 当K = Kp × Kp且Kp为帕拉霍里型时，构造这些希米亚瓦的p-整模型，推广科特维茨的超特殊情形。
• 确立这些p-整模型的平坦性与光滑性，解决以往构造中的关键技术障碍。
• 在虚构德林费尔德型别情形下构造全局整模型，以支持算术交点理论的应用。
• 证明这些希米亚瓦自然支持甘–格罗丝–普拉萨德与库德拉–拉波波特猜想中出现的代数周期。

提出的方法

• 作者基于对酉群模问题的扩展，定义了一类新的希米亚瓦数据，确保在所有型别下均具有统一的模解释。
• 利用局部模型理论与PEL数据的形式化，构造p-整模型，将辛–帕帕斯的结果推广至帕拉霍里型水平结构。
• 通过详细分析局部模型及其基变换，特别是利用局部模型图的形式化，确立了p-整模型的平坦性与光滑性。
• 在虚构德林费尔德情形下，结合局部模型技术与整 canonical 模型理论，构造了全局整模型。
• 关键技术工具是自对偶格链及其在局部环上关联的极化格链，证明其同构函子是可表示且光滑的。
• 平坦性证明依赖于验证某个Q-结构及其正交补的像之间的包含关系，利用了艾森斯坦条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为酉群的希米亚瓦提供一种统一的模理论构造，使其适用于所有型别，而不仅限于特殊情形？
• RQ2 当p处的水平结构为帕拉霍里型时，这些希米亚瓦是否存在p-整模型？它们是否平坦或光滑？
• RQ3 在虚构德林费尔德型别情形下，能否构造全局整模型？其几何性质如何？
• RQ4 这些新希米亚瓦与德尔格内–科特维茨的经典酉希米亚瓦及甘–格罗丝–普拉萨德型希米亚瓦有何关系？
• RQ5 这些新希米亚瓦是否自然支持甘–格罗丝–普拉萨德与库德拉–拉波波特猜想所要求的代数周期？

主要发现

• 新希米亚瓦在所有型别下统一表示了具有附加结构的阿贝尔簇的模问题，解决了早期构造的局限性。
• 为所有帕拉霍里型水平结构Kp构造了p-整模型，将科特维茨从超特殊情形推广至一般帕拉霍里型群。
• 在适当条件下，证明了p-整模型的平坦性与光滑性，解决了这些簇在算术研究中的关键技术难题。
• 在虚构德林费尔德型别情形下，构造了全局整模型，为算术交点问题提供了几何框架。
• 新希米亚瓦自然容纳了甘–格罗丝–普拉萨德与库德拉–拉波波特猜想中核心的代数周期，符合猜想框架的要求。
• 局部模型与局部模型图的形式化可推广至p = 2的无ramified PEL数据型A情形，确保理论在完全一般情形下成立，包括在素数2的情形。