[论文解读] Proper holomorphic embeddings of Riemann surfaces with arbitrary topology into $\mathbb{C}^2$

Antonio Alarcón, Francisco J. López|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文证明了，无论其拓扑复杂度如何，任何开黎曼曲面都存在一个与自身同胚的区域，该区域可拟全纯嵌入到 ℂ² 中。通过结合桥接原理与 Forstneri 和 Wold 的技术，作者采用递归构造方法，构建了一组收敛于拟全纯嵌入的全纯嵌入序列，且所得区域可实现为双曲共形类型。

ABSTRACT

We prove that given an open Riemann surface $N,$ there exists an open domain $M\subset N$ homeomorphic to $N$ which properly holomorphically embeds in $\mathbb{C}^2.$ Furthermore, $M$ can be chosen with hyperbolic conformal type. In particular, any open orientable surface admits a complex structure properly holomorphically embedding into $\mathbb{C}^2.$

研究动机与目标

• 通过证明任意开黎曼曲面都存在一个具有任意拓扑结构的区域，该区域可拟全纯嵌入到 ℂ² 中，从而解决 Bell-Narasimhan 猜想中的拓扑障碍。
• 将先前关于有限型曲面的结果推广至任意拓扑类型的曲面，包括无限亏格和非有限生成基本群的曲面。
• 证明在构造过程中，可保持嵌入区域的共形类型（例如双曲性）。
• 提供一种构造性方法，用于生成 ℂ² 中的拟全纯嵌入，而无需要求曲面为有限型或具有有限拓扑。

提出的方法

• 构造过程通过开黎曼曲面 𝒩 中一个扩张的 Runge 紧区域序列 {M_n} 进行，该序列构成 𝒩 中某个开区域 𝒪 的 exhaustion。
• 通过桥接原理，递归地定义一列全纯嵌入 {Y_n: M_n → ℂ²}，以确保单射性和拟全纯性，同时控制图像相对于 ℂ² 中扩张球体的位置。
• 嵌入被构造为使得每个 Y_n 与前一个同伦，保持同调类，并确保极限映射为单射。
• 序列 {Y_n} 被选择为在递增区域 𝒪 = ∪M_n 的紧子集上一致收敛于一个全纯极限映射 𝒳: 𝒪 → ℂ²。
• 通过选择递减的误差项 ϵ_j 和 ϱ_j 控制收敛性，确保极限映射为浸入且单射。
• 通过证明对于任意紧集 K ⊂ ℂ²，预像 𝒳⁻¹(K) 在 𝒪 中相对紧（利用 𝒳(N_j − N_{j−1}°) 最终位于大球之外的事实），建立拟全纯性。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何开黎曼曲面，无论其拓扑复杂度如何，是否都能通过一个与自身同胚的区域，拟全纯嵌入到 ℂ² 中？
• RQ2 是否可能在保持嵌入区域共形类型（特别是双曲性）的同时构造此类嵌入？
• RQ3 是否存在拟全纯嵌入到 ℂ² 中是否依赖于曲面的有限拓扑类型？
• RQ4 能否使构造过程在一致收敛且单射的同时，保持拟全纯性和全纯性？

主要发现

• 对于任意开黎曼曲面 𝒩，存在一个开区域 𝒪 ⊂ 𝒩，同胚于 𝒩，其可拟全纯嵌入到 ℂ² 中。
• 所构造的嵌入 𝒳: 𝒪 → ℂ² 是单射、全纯且拟全纯的，其像逃逸于 ℂ² 的每个紧子集之外。
• 区域 𝒪 可被选为具有双曲共形类型，即支持一个具有常负曲率的完备共形度量。
• 由于在误差序列 ϵ_j 的控制下，极限映射 𝒳 是浸入，因此它是一个拟全纯嵌入。
• 构造确保每个环形区域 N_j − N_{j−1}° 的像位于半径为 s₀ + j − 2 − ϵ₀ 的球体之外，从而保证了拟全纯性。
• 该结果确认了 Bell-Narasimhan 猜想的拓扑版本，表明拓扑不会阻碍拟全纯嵌入到 ℂ² 中。