[论文解读] Properties of the extended Clifford group with applications to SIC-POVMs and MUBs

D. M. Appleby|ArXiv.org|Sep 28, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 35

一句话总结

该论文在奇素数幂维下建立了扩展 Clifford 群的忠实、相位优化的酉表示，使得能够显式计算来自（反-）辛矩阵的（反-）酉算符。推导了这些算符的本征值、阶和根，并将其应用于构造 SIC-POVM fiducial 状态的自然基，以及解决 MUB 循环问题，表明在 $d \equiv 3 \pmod{4}$ 时，一个 Clifford 反酉算符可循环遍历所有 Wootters-Fields MUB，而在所有奇素数幂维中，MUB 分为两组，每组由单个 Clifford 酉算符分别循环遍历。

ABSTRACT

We consider a version of the extended Clifford Group which is defined in terms of a finite Galois field in odd prime power dimension. We show that Neuhauser's result, that with the appropriate choice of phases the standard (or metaplectic) representation of the discrete symplectic group is faithful also holds for the anti-unitary operators of the extended group. We also improve on Neuhauser's result by giving explicit formulae for the (anti-)unitary corresponding to an arbitrary (anti-)symplectic matrix. We then go on to find the eigenvalues and the order of an arbitrary (anti-)symplectic matrix. The fact that in prime power dimension the matrix elements belong to a field means that this can be done using the same techniques which are used to find the eigenvalues of a matrix defined over the reals-including the use of an extension field (the analogue of the complex numbers) when the eigenvalues are not in the base field. We then give an application of these results to SIC-POVMs (symmetric informationally complete positive operator valued measures). We show that in prime dimension our results can be used to find a natural basis for the eigenspace of the Zauner unitary in which SIC-fiducials are expected to lie. Finally, we apply our results to the MUB cycling problem. We show that in odd prime power dimension d, although there is no Clifford unitary, there is a Clifford anti-unitary which cycles through the full set of Wootters-Fields MUBs if d=3 (mod 4). Also, irrespective of whether d=1 or 3 (mod 4), the Wootters-Fields MUBs split into two groups of (d+1)/2 bases in such a way that there is a single Clifford unitary which cycles through each group separately.

研究动机与目标

• 建立有限域上奇素数幂维扩展 Clifford 群的忠实、非投影酉表示。
• 推导出计算任意（反-）辛矩阵对应的（反-）酉算符的显式公式。
• 将该表示应用于构造素数维中 SIC-POVM fiducial 状态的自然特征空间基。
• 通过识别能循环遍历完整或分裂的互为正交基集合的酉和反酉算符，解决 MUB 循环问题。

提出的方法

• 使用半经典表示并仔细选择相位，使从（反-）辛矩阵到（反-）酉算符的映射成为真正的群同态。
• 应用有限域算术和扩张域（复数的类比）来计算（反-）辛矩阵的本征值，即使本征值位于基域之外也能处理。
• 将（反-）酉算符表示为位移算符的线性组合，从而实现矩阵元的显式计算。
• 利用索引函数 $f_F(s)$ 和缩放因子 $g_F(s)$ 推导 $U_F$ 作用于 MUB 基态的变换规则。
• 利用扩张域结构，构造类似于量子光学中复参数化的位移算符参数化。
• 分析特定矩阵如 $A$ 和 $A^2$ 的作用，以确定其在 MUB 间的循环行为，区分 $d \equiv 1$ 和 $d \equiv 3 \pmod{4}$ 的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在奇素数幂维中使扩展 Clifford 群的半经典表示对反酉算符也实现忠实（非投影）？
• RQ2 在有限域上，是否存在计算任意（反-）辛矩阵对应的（反-）酉算符的显式公式？
• RQ3 如何利用有限域和扩张域技术计算（反-）酉算符的本征值、阶和根？
• RQ4 这些结果能否用于构造 Zauner 酉算符特征空间的自然基，其中 SIC-POVM fiducial 状态位于其上？
• RQ5 是否存在单个 Clifford（反-）酉算符，可在奇素数幂维中循环遍历所有 Wootters-Fields MUB？若存在，其条件是什么？

主要发现

• 通过相位选择，扩展 Clifford 群的半经典表示被实现为忠实表示，因此对所有 $F_1, F_2 \in \mathrm{ESL}(2,\mathbb{F}_d)$，有 $U_{F_1}U_{F_2} = U_{F_1F_2}$ 精确成立。
• 推导出从任意 $F \in \mathrm{ESL}(2,\mathbb{F}_d)$ 计算 $U_F$ 的显式公式，包括表示为位移算符的线性组合。
• 利用扩张域计算（反-）辛矩阵的本征值，实现了在有限域上的完整谱分析。
• 在素数维中，构造了 Zauner 酉算符特征空间的自然基，该基预计包含 SIC-POVM fiducial 状态。
• 当 $d \equiv 3 \pmod{4}$ 时，存在一个 Clifford 反酉算符，可循环遍历全部 $d+1$ 个 Wootters-Fields MUB。
• 在所有奇素数幂维中，$d+1$ 个 MUB 分为两组，每组含 $(d+1)/2$ 个基，每组由单个 Clifford 酉算符分别独立循环遍历。