[论文解读] Quadratic BSDEs driven by a continuous martingale and application to utility maximization problem

Marie-Amélie Morlais|ArXiv.org|Oct 25, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文建立了由连续鞅驱动的二次倒向随机微分方程（BSDE）解的存在性与唯一性，使得在投资组合约束下能够采用动态规划方法求解效用最大化问题。其主要贡献在于通过这些二次BSDE的解，显式刻画了指数型、幂型和对数型效用函数的值函数与最优策略。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of quadratic Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) which arises naturally when studying the problem of utility maximization with portfolio constraints. We first establish existence and uniqueness results for such BSDEs and then, we give an application to the utility maximization problem. Three cases of utility functions will be discussed: the exponential, power and logarithmic ones.

研究动机与目标

• 在连续过滤空间设定下求解具有投资组合约束的效用最大化问题，其中由于存在不可对冲的负债，市场为不完全市场。
• 将动态规划方法推广至非布朗运动的连续鞅框架下的二次BSDE，克服凸对偶方法的局限性。
• 显式刻画三种标准效用函数（指数型、幂型和对数型）的值函数与最优投资策略。
• 通过求解相关二次BSDE，为不完全市场中带约束的效用无差异定价提供严格的理论基础。
• 通过引入非凸投资组合约束并避免使用对偶方法，推广了文献[15]中的先前结果。

提出的方法

• 本文使用d维连续局部鞅M对金融市场进行建模，并通过关于M和一个强正交鞅L的随机积分分解财富过程。
• 引入形式为 $ Y_t = 0 - \int_t^T f(s, Z_s, \rho_s) dC_s - \int_t^T Z_s dM_s - \int_t^T dL_s $ 的二次BSDE，其中生成器 $ f $ 在控制变量 $ \rho $ 上具有二次增长。
• 在波动率矩阵 $ m_s m_s' $ 可逆且 $ \lambda $ 满足有界性条件的假设下，证明了该二次BSDE解的存在性与唯一性，从而确保结构条件成立。
• 应用动态规划原理，推导出值函数的BSDE，其中生成器 $ f $ 由与效用最大化问题相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程导出。
• 针对每类效用函数——指数型、幂型和对数型——显式构造了生成器 $ f $，并将最优策略 $ \rho^* $ 表征为涉及 $ m_s(\rho - \lambda_s) $ 的二次型的最小化器。
• 值函数表示为 $ V_t^B(x) = \mathbb{E}^{\mathcal{F}_t}[U(X_T^{\rho^*,t,x} - B)] $，并通过证明关联过程 $ R^\rho $ 为上鞅且在 $ \rho^* $ 时取等号，验证了最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在连续的、非布朗运动的过滤空间设定下，利用动态规划方法求解具有投资组合约束的效用最大化问题？
• RQ2 在该背景下，什么条件能确保由连续鞅驱动的二次BSDE解的存在性与唯一性？
• RQ3 指数型、幂型和对数型效用函数的值函数如何依赖于一个二次BSDE的解？
• RQ4 在不完全市场中，非凸投资组合约束下的最优投资策略的显式形式是什么？
• RQ5 所提出的动态方法与基于对偶的方法相比，在求解带约束的效用最大化问题时有何优势？

主要发现

• 对于指数型效用，值函数为 $ V_t^1(x) = \frac{x^\gamma}{\gamma} \exp(Y_t) $，其中 $ Y $ 是满足含 $ \rho $-相关二次项的生成器的二次BSDE的解。
• 对于幂型效用，最优策略 $ \rho_1^* $ 满足 $ |m_s(\rho_1^* - \lambda_s)| \leq |m_s \lambda_s| $，值函数为 $ V_t^1(x) = \frac{x^\gamma}{\gamma} \exp(Y_t) $，其中 $ Y $ 是类型为 (Eq2) 的BSDE的解。
• 对于对数型效用，值函数为 $ V_t^2(x) = \ln(x) + Y_t $，其中 $ Y $ 是具有生成器 $ f^2(s) = \inf_{\rho \in \mathcal{C}} \frac{1}{2}|m_s(\rho - \lambda_s)|^2 - \frac{1}{2}|m_s \lambda_s|^2 $ 的唯一解的二次BSDE的解。
• 对数型效用的最优策略 $ \rho_2^* $ 是 $ |m_s(\rho - \lambda_s)|^2 $ 的最小化器，且过程 $ \ln(X^{\rho^*}) + Y $ 为鞅，从而确认了最优性。
• 本文证明了在 $ m_s m_s' $ 可逆且 $ \lambda $ 满足有界性条件 $ \int_0^T |m_s \lambda_s|^2 dC_s \leq a_\lambda $ 的假设下，二次BSDE解的存在性与唯一性，从而确保结构条件成立。
• 结果通过引入非凸投资组合约束并避免使用对偶方法，推广了文献[15]中的先前工作，为值函数与最优策略提供了直接的动态表征。