[论文解读] Quadratic BSDEs with L 2 -terminal data Existence results, Krylov's estimate and Itô-Krylov's formula ∗

Khaled Bahlali, Mhamed Eddahbi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文通过一种新颖的方法，建立了仅具有平方可积终端数据和可测生成元的二次倒向随机微分方程（QBSDEs）解的存在性与唯一性，该方法无需依赖指数矩或生成元的连续性。文中引入了一类Krylov型先验估计以及伊藤-Krylov变量变换公式，从而为具有平方可积终端条件的QBSDEs和二次PDE的粘性解提供了新的存在性结果。

ABSTRACT

In a first step, we establish the existence (and sometimes the uniqueness) of solutions for a large class of quadratic backward stochastic differential equations (QBSDEs) with continuous generator and a merely square integrable terminal condition. Our approach is different from those existing in the literature. Although we are focused on QBSDEs, our existence result also covers the BSDEs with linear growth, keepingsquare integrable in both cases. As byproduct, the existence of viscosity solutions is established for a class of quadratic partial differential equations (QPDEs) with a square integrable terminal datum. In a second step, we consider QBSDEs with measurable generator for which we establish a Krylov's type a priori estimate for the solutions. We then deduce an Ito-Krylov's change of variable formula. This allows us to establish various existence and uniqueness results for classes of QBSDEs with square integrable terminal condition and sometimes a merely measurable generator. Our results show, in particular, that neither the existence of expo- nential moments of the terminal datum nor the continuity of the generator are necessary to the existence and/or uniqueness of solutions for quadratic BSDEs. Some comparison theorems are also established for solutions of a class of QBSDEs.

研究动机与目标

• 建立具有平方可积终端条件和连续或可测生成元的二次BSDEs解的存在性与唯一性。
• 在QBSDE理论中，去除对终端条件的指数矩假设以及对生成元连续性的标准要求。
• 为具有可测生成元的QBSDEs推导一类Krylov型先验估计。
• 为这类方程发展一种伊藤-Krylov型变量变换公式。
• 证明一类具有L²终端数据的二次PDE的粘性解的存在性。

提出的方法

• 提出一种针对具有连续生成元和L²终端数据的QBSDEs的新型存在性方法，与以往方法有本质区别。
• 为具有可测生成元的QBSDEs解建立一类Krylov型先验估计。
• 在最小可积性条件下推导出伊藤-Krylov型变量变换公式。
• 将Krylov估计与变量变换公式应用于证明具有可测生成元的QBSDEs的存在性与唯一性。
• 利用所得结果证明一类具有L²终端数据的二次PDE的粘性解存在性。
• 将比较定理应用于一类具有可测生成元的QBSDEs的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设终端条件具有指数矩或生成元连续的前提下，二次BSDEs的解是否仍能存在？
• RQ2 对于具有可测生成元和L²终端数据的QBSDEs，有哪些先验估计可用？
• RQ3 在最小正则性条件下，如何推导并应用一类伊藤-Krylov型变量变换公式于QBSDEs中？
• RQ4 在仅具有L²终端数据的条件下，粘性解的存在性在多大程度上可被证明？
• RQ5 在何种条件下，具有可测生成元的二次BSDEs的解满足比较定理？

主要发现

• 在不假设终端条件具有指数矩的前提下，建立了具有连续生成元和L²终端数据的QBSDEs解的存在性。
• 为具有可测生成元的QBSDEs推导出一类Krylov型先验估计，为后续分析提供了基础。
• 在最小可积性假设下，证明了QBSDEs的伊藤-Krylov型变量变换公式。
• 证明了一类具有L²终端数据的二次PDE的粘性解存在性。
• 为一类具有可测生成元和L²终端条件的QBSDEs获得了唯一性与比较定理。
• 结果表明，生成元的连续性以及终端条件的指数矩并非解的存在性或唯一性的必要条件。