[论文解读] Quantizations of Hitchin and Beauville-Mukai integrable systems

Benjamin Enriquez, Vladimir Rubtsov|ArXiv.org|Sep 23, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种对具有标记点的有理曲线上秩为2的向量丛的Hitchin与Beauville-Mukai可积系统之间双有理等价的量化。通过Gaudin哈密顿量和文献[11]中的构造，作者显式地量化了经典系统之间的同构，证明其诱导出与Sklyanin分离变量法一致的量子可积系统同构，并可通过Gaudin结构推广至更高秩情形。

ABSTRACT

Spectral transformation is known to set up a birational morphism between the Hitchin and Beauville-Mukai integrable systems. The corresponding phase spaces are: (a) the cotangent bundle of the moduli space of bundles over a curve C, and (b) a symmetric power of the cotangent surface T^*(C). We conjecture that this morphism can be quantized, and we check this conjecture in the case where C is a rational curve with marked points and rank 2 bundles. We discuss the relation of the resulting isomorphism of quantized algebras with Sklyanin's separation of variables.

研究动机与目标

• 猜想Hitchin与Beauville-Mukai可积系统之间的经典双有理同构可被量化。
• 在具有标记点的有理曲线与秩2丛的特定情形下验证该猜想。
• 建立两个系统量化代数之间的显式同构。
• 将所得的量子同构与Sklyanin的分离变量法及临界水平下的共形块联系起来。
• 为将显式构造推广至SL_n(C)等更高秩群提供框架。

提出的方法

• 利用谱变换和Hurtubise的双有理态射，将秩2丛模空间余切丛上的Hitchin系统与余切曲面对称幂上的Beauville-Mukai系统联系起来。
• 将经典同构GNR定义为与环化李代数相关联的分次泊松代数的分式域之间的泊松同构。
• 使用文献[11]的方法构造Beauville-Mukai系统的量化，并通过Gaudin哈密顿量对Hitchin系统进行量化。
• 证明经典同构GNR在定理6.1中可上移到量子可积系统之间的同构。
• 通过临界水平k = -2处的Sugawara构造，建立量子同构与共形块之间的联系。
• 利用评价模与余不变空间的表示论框架，将量子系统与Hecke代数及中心算子联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hitchin与Beauville-Mukai可积系统之间的经典双有理同构能否被上移到其量化代数之间的量子同构？
• RQ2 在秩2、有理曲线的情形下，Gaudin哈密顿量构造如何与Beauville-Mukai系统的量化相关联？
• RQ3 所得的量子同构在多大程度上与Sklyanin的分离变量法一致？
• RQ4 临界水平k = -2在量子对应关系中起什么作用，特别是在共形块的语境下？
• RQ5 秩2情形下的显式构造在多大程度上可推广至SL_n(C)等更高秩群？

主要发现

• Hitchin与Beauville-Mukai系统之间的经典同构GNR被证明是与环化李代数相关联的分次泊松代数之间的泊松同构。
• 作者在定理6.1中构造了量子可积系统之间的显式同构，将经典GNR映射上移到量子水平。
• 该量子同构通过Gaudin哈密顿量与[11]中Beauville-Mukai系统的量化实现，建立了非交换代数中各自交换子代数之间的对应关系。
• 所得的量子系统尊重Sugawara构造，且Sugawara算子在临界水平k = -2的余不变空间上生成一族交换算子。
• 量子同构被证明与Sklyanin的分离变量法相容，提示该对应关系背后存在更深层次的代数几何结构。
• 该构造通过注入余不变空间与Hecke代数商B/J嵌入量子代数A_U，与共形块相关联。