[论文解读] Affine Algebras, Langlands Duality and Bethe Ansatz

Edward Frenkel|ArXiv.org|Jun 5, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 89

一句话总结

本文建立了仿射 Kac-Moody 代数在临界水平、几何朗兰兹对偶性以及可积系统中贝特定律之间的深刻联系。它表明，曲线上的 ${\mathfrak{g}}^L$-主从丛对应于 $G^L$-局部系统，并通过 Beilinson-Drinfeld 局域化函子，导出 $G$-丛模空间上的 ${\mathcal{D}}$-模，从而实现几何朗兰兹对应。关键结果是：$SL_2$ Gaudin 模型中贝特定律的完备性，等价于相关射影联络的单值性。

ABSTRACT

We review various aspects of representation theory of affine algebras at the critical level, geometric Langlands correspondence, and Bethe ansatz in the Gaudin models. Geometric Langlands correspondence relates D-modules on the moduli space of G-bundles on a complex curve X and flat G^L-bundles on X. Beilinson and Drinfeld construct it by applying a localization functor to representations of affine algebras of critical level. We show that in genus zero the corresponding D-modules are closely related to the diagonalization problem in the Gaudin model associated to G. This allows us to give a new interpretation of the Bethe ansatz and Sklyanin's separation of variables in the Gaudin model in terms of Langlands correspondence.

研究动机与目标

• 通过仿射 Kac-Moody 代数在临界水平的表示理论，建立对半单群的几何朗兰兹对应。
• 阐明 ${\mathfrak{g}}^L$-主从丛作为 $\widehat{{\mathfrak{g}}}$-模在临界水平下的局部朗兰兹参数的角色。
• 通过将相关射影联络的单值性与之关联，证明 $SL_2$ Gaudin 模型中贝特定律的完备性。
• 通过局域化和 $q$-变形，探索量子可积系统（Gaudin 模型）与几何朗兰兹之间的对应关系。

提出的方法

• 使用 Beilinson-Drinfeld 局域化函子，将 $\mathcal{O}^0$ 类别中的 $\widehat{{\mathfrak{g}}}$-模映射为 $\mathcal{M}_G(X)$ 上的 ${\mathcal{D}}$-模。
• 应用临界水平性质，其中 $U_{-h^\vee}(\widehat{{\mathfrak{g}}})$ 拥有一个大的中心，同构于经典 $\mathcal{W}$-代数 $\mathcal{W}({\mathfrak{g}}^L)$。
• 将 $\mathcal{W}({\mathfrak{g}}^L)$-泛函识别为 ${\mathfrak{g}}^L$-主从丛，后者通过特征因子化参数化 $\widehat{{\mathfrak{g}}}$-模。
• 从 ${\mathfrak{g}}^L$-主从丛构造 ${\mathcal{D}}$-模，并通过单值性证明其对应于 $G^L$-局部系统。
• 在亏格为零的情况下，将所得的 ${\mathcal{D}}$-模与 Gaudin 模型的交换哈密顿量及其本征值方程联系起来。
• 使用 Miura 变换的 $q$-变形和 $q$-差分方程，推广变量分离和谱理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射 Kac-Moody 代数的临界水平结构如何与几何朗兰兹对应相关联？
• RQ2 ${\mathfrak{g}}^L$-主从丛在参数化 $\widehat{{\mathfrak{g}}}$-模于临界水平时的确切作用是什么？
• RQ3 贝特定律在 Gaudin 模型中的完备性能否通过相关联络的单值性进行几何刻画？
• RQ4 Miura 变换的 $q$-变形和 $q$-差分方程如何推广可积系统中的变量分离？
• RQ5 量子仿射代数在临界水平下的中心与朗兰兹对偶的经典 $\mathcal{W}$-代数之间有何关系？

主要发现

• 在 $U_{-h^\vee}(\widehat{{\mathfrak{g}}})$ 中，中心同构于经典 $\mathcal{W}$-代数 $\mathcal{W}({\mathfrak{g}}^L)$，建立了 $\widehat{{\mathfrak{g}}}$-模与 ${\mathfrak{g}}^L$-主从丛之间的对偶性。
• 每个性质为正则的 ${\mathfrak{g}}^L$-主从丛在曲线上 $X$ 上定义了一个 $G^L$-局部系统和一个 $\mathcal{M}_G(X)$ 上的 ${\mathcal{D}}$-模，从而实现几何朗兰兹对应。
• 当 $G=SL_2$ 时，贝特定律方程等价于相关射影联络具有平凡单值性，从而证明了贝特定律的完备性。
• Gaudin 哈密顿量作为交换微分算子出现，其本征值问题对应于由 ${\mathfrak{g}}^L$-主从丛关联的 ${\mathcal{D}}$-模。
• $q$-变形的 Miura 变换将量子仿射代数的中心映射为 $q$-差分算子，推广了经典谱理论。
• $U_q(\widehat{{\mathfrak{g}}})$ 在临界水平下的 $R$-矩阵与量子 Toda 系统的 $R$-矩阵一致，将量子群与可积系统联系起来。