[论文解读] Quantum and Stochastic Branching Programs of Bounded Width

Farid Ablayev, Cristopher Moore+1 more|ArXiv.org|Jan 30, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了有界宽度量子与随机分支程序的句法模型，证明了宽度为2的量子分支程序可精确识别NC¹中的所有语言——超越了经典模型（除非NC¹ = ACC，否则经典模型需宽度5）。此外，本文还表明，常数宽度的有界误差量子与随机程序可被经典程序模拟，且其宽度更大但有界，从而将它们的计算能力置于NC¹之内。

ABSTRACT

In this paper we show that one qubit polynomial time computations are at least as powerful as $\NC^1$ circuits. More precisely, we define syntactic models for quantum and stochastic branching programs of bounded width and prove upper and lower bounds on their power. We show any $\NC^1$ language can be accepted exactly by a width-2 quantum branching program of polynomial length, in contrast to the classical case where width 5 is necessary unless $\NC^1=\ACC$. This separates width-2 quantum programs from width-2 doubly stochastic programs as we show the latter cannot compute the middle bit of multiplication. Finally, we show that bounded-width quantum and stochastic programs can be simulated by classical programs of larger but bounded width, and thus are in $\NC^1$. The change in the revised version is the addition of the syntactic condition.

研究动机与目标

• 定义并分析用于非均匀计算的有界宽度量子与随机分支程序的句法模型。
• 研究宽度为2的量子分支程序相较于经典与随机模型的计算能力。
• 确定有界误差的量子与随机分支程序是否可被经典确定性程序以有界宽度模拟。
• 在有界误差下，为低宽度随机程序的表达能力建立紧致界。
• 澄清量子与经典随机模型在计算能力上的分离，特别是关于乘法中间位的问题。

提出的方法

• 引入句法模型，其中所有最终状态——一致与不一致——被划分为孤立的接受与拒绝集合，确保有界误差识别的度量分离。
• 定义具有宽度约束的量子与随机分支程序，使用概率与振幅空间上的状态向量和转移矩阵。
• 应用$L_1$与$L_2$距离界来分析接受与拒绝状态分布之间的分离，推导出可区分状态数目的基于体积的界。
• 利用$(k-1)$-单纯形的$L_1$-直径与$2k$-球面上的$L_2$-体积论证，界定在状态空间中可容纳的半径为$2\tilde{\epsilon}$或$=\tilde{\epsilon}$的球体数量。
• 证明常数宽度的有界误差量子与随机分支程序可被更大但有界的确定性程序模拟，利用度量分离与状态空间体积约束。
• 利用Barrington定理及ACC与NC¹的已知结果，将模拟结果与经典电路类关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 宽度为2的量子分支程序能否精确识别NC¹中的所有语言？
• RQ2 宽度为2的量子程序与宽度为2的双随机程序相比，计算能力如何，特别是在乘法中间位方面？
• RQ3 常数宽度的有界误差量子与随机分支程序能否被经典确定性程序以有界宽度模拟？
• RQ4 宽度小于5的随机分支程序在有界误差下的极限是什么？它们是否仅识别ACC中的语言？
• RQ5 在有界宽度计算中，是否存在量子与经典随机模型之间的严格分离？

主要发现

• 长度为多项式的宽度为2的量子分支程序可精确识别NC¹中的任意语言，表明在此模型中单个量子比特足以实现NC¹的通用计算。
• 宽度为2的双随机分支程序无法计算乘法的中间位，证明其与宽度为2的量子程序之间存在严格分离。
• 常数宽度的有界误差量子与随机分支程序可被更大但有界的确定性程序模拟，表明其计算能力包含于NC¹。
• 句法模型2-EQBP、2-BQBP、EQBP、BQBP、BSBP与BWBP均与NC¹完全一致，表明这些模型在NC¹内坍缩。
• 对于随机程序，若$\epsilon > 1/8$（宽度2）、$\epsilon > 1/3$（宽度3）或$\epsilon > 3/8$（宽度4），则所识别的语言属于ACC。
• 宽度为2的随机程序在误差容限$\epsilon > 1/4$下无法计算多数函数，确认其在有界误差下的能力存在限制。