[论文解读] Quantum complementarity: A novel resource for unambiguous exclusion and encryption

Chung-Yun Hsieh, Roope Uola+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2023

Quantum Mechanics and ApplicationsPhysics and Astronomy被引用 3

一句话总结

本文引入了 $η$-无歧义排除作为一项新颖的量子信息任务，证明了量子互补性可作为实现无歧义态排除与加密优势的操作资源。研究确立了测量互补性可在有限含糊性下实现零误差加密，将互补性与测量不相容性及量子导引联系起来。

ABSTRACT

Complementarity is a phenomenon explaining several core features of quantum theory, such as the well-known uncertainty principle. Roughly speaking, two objects are said to be complementary if being certain about one of them necessarily forbids useful knowledge about the other. Two quantum measurements that do not commute form an example of complementary measurements, and this phenomenon can also be defined for ensembles of states. Although a key quantum feature, it is unclear whether complementarity can be understood more operationally, as a necessary resource in some quantum information task. Here we show this is the case, and relates to a novel task which we term $η$-unambiguous exclusion. As well as giving complementarity a clear operational definition, this also uncovers the foundational underpinning of unambiguous exclusion tasks for the first time. We further show that a special type of measurement complementarity is equivalent to advantages in certain encryption tasks. Finally, our analysis suggest that complementarity of measurement and state ensemble can be interpreted as strong forms of measurement incompatibility and quantum steering, respectively.

研究动机与目标

• 通过将其与具体的量子信息任务联系起来，将量子互补性操作化，特别是 $η$-无歧义排除任务。
• 证明测量互补性与态集合的互补性可作为在加密任务中实现优势的资源。
• 通过操作任务阐明互补性在量子导引与测量不相容性中的基础性作用。
• 通过推导排除协议中错误概率与含糊性的界限，形式化互补性的操作意义。
• 证明仅当测量合奏为互补时，才可能实现零误差加密，从而建立互补性与安全优势之间的直接联系。

提出的方法

• 引入 $η$-无歧义排除任务：玩家必须使用具有 $(n+1)$ 个结果的 POVM 从集合中排除未选择的态，且最多以 $η$ 的概率放弃本轮（即 $Q_{\emptyset} \leq \eta\mathbb{I}$）。
• 通过如下条件定义测量互补性：除非 $M=0$，否则不存在非平凡的与态相关的下界 $\ell(\rho) = \mathrm{tr}(M\rho)$，能同时约束所有 $x$ 的结果概率 $P(a_x|x,\rho)$。
• 利用操作任务推导出零误差加密的必要且充分条件：对所有 $b$，有 $\mathrm{tr}(E_{a_*|0}P_b) + \mathrm{tr}(E_{b|1}(\mathbb{I}-P_b)) = 0$，这意味着 $E_{a_*|0}$ 与 $E_{b|1}$ 的支撑正交。
• 应用迹距离对偶性，表明测量算符之间支撑正交意味着 $E_{a_*|0} = 0$，除非互补性成立，否则将导致矛盾。
• 分析一个包含互为 unbiased 基（$|0\rangle,|1\rangle$ 与 $|+\rangle,|-\rangle$）的两量子比特例子，计算出零误差排除所需的最小含糊性为 $\eta_{\text{min}} = 2/(1+\sqrt{2}) \approx 0.828$。
• 通过半定规划推导出不相容性判据 $\mathrm{IW}(\mathbf{E})$ 的上界，表明 $1 - \mathrm{IW}(\mathbf{E}) \leq \frac{w^n C_{\text{POVM}}}{d}$，从而将互补性与不相容性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过特定的量子信息任务，为量子互补性赋予操作定义？
• RQ2 测量互补性是否能在无歧义排除与加密任务中提供资源优势？
• RQ3 测量合奏的互补性与测量不相容性及量子导引之间有何关系？
• RQ4 对于给定的互补测量合奏，实现零误差无歧义排除所需的最小含糊性 $\eta$ 是多少？
• RQ5 加密中的操作优势能否与测量合奏的互补程度进行定量关联？

主要发现

• 量子互补性被操作化定义为实现零误差无歧义排除的必要资源，该任务要求放弃某轮的概率最多为 $\eta$。
• 当且仅当对所有 $x$，满足 $E_{a_x|x} \geq M \Rightarrow M=0$ 时，测量合奏 $\mathbf{E}$ 为互补的，即不存在非平凡的与态相关的下界 $\ell(\rho)$ 同时约束所有结果概率 $P(a_x|x,\rho)$。
• 仅当测量合奏互补时，才可能实现零误差加密，这是通过假设 $E_{a_*|0}$ 与 $E_{b|1}$ 支撑非正交而导出矛盾所证明的。
• 在互为 unbiased 基的例子中，最小含糊性为 $\eta_{\text{min}} = 2/(1+\sqrt{2}) \approx 0.828$，可实现成功概率约为 $0.2929$ 的零误差排除。
• 不相容性判据 $\mathrm{IW}(\mathbf{E})$ 的上界为 $\frac{w^n C_{\text{POVM}}}{d}$，表明互补性与测量不相容性之间存在定量联系。
• 测量合奏的互补性在操作上等价于测量不相容性，而态集合的互补性对应于量子导引，从而建立了基础性联系。