[论文解读] Quantum Gibbs Sampling Using Szegedy Operators

Robert R. Tucci|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于Szegedy算子和相位估计算法的量子吉布斯采样算法，实现了O(1/√δ)步的采样复杂度，精度为O(ǫ)，其中δ为吉布斯马尔可夫链的本征值间隙。该方法通过利用量子相位估计算法和Grover扩散算子，实现了对目标吉布斯态的高效制备，相较于经典吉布斯采样所需的O(1/δ)步，实现了显著加速。

ABSTRACT

We present an algorithm for doing Gibbs sampling on a quantum computer. The algorithm combines phase estimation for a Szegedy operator, and Grover's algorithm. For any $ε>0$, the algorithm will sample a probability distribution in ${\cal O}(\frac{1}{\sqrtδ})$ steps with precision ${\cal O}(ε)$. Here $δ$ is the distance between the two largest eigenvalue magnitudes of the transition matrix of the Gibbs Markov chain used in the algorithm. It takes ${\cal O}(\frac{1}δ)$ steps to achieve the same precision if one does Gibbs sampling on a classical computer.

研究动机与目标

• 开发一种用于经典贝叶斯网络高效吉布斯采样的量子算法。
• 将经典计算机上吉布斯采样所需的步数从O(1/δ)减少到量子计算机上的O(1/√δ)。
• 利用Szegedy算子和相位估计算法构建编码吉布斯分布的量子行走。
• 通过混合量子-经典马尔可夫链实现在高维概率分布采样中的量子加速。

提出的方法

• 该算法构建了两个对偶的马尔可夫链M1和M2，其联合细致平衡条件确保吉布斯分布π(x)为其平稳测度。
• 定义混合算子Mhyb(y|x) = Λ2(x|y)Λ1(y|x)，其中Λj(y|x) = √Mj(y|x)，其本征值与M1和M2一致。
• 基于Mhyb构造Szegedy算子W，其本征值用于通过多步量子电路V实现相位估计算法，以估计W的本征相位。
• 利用相位估计算法制备目标态|ψ0⟩ = |√π⟩，并应用Grover扩散算子以增强该态的振幅。
• 通过受控-V电路近似实现围绕|ψ0⟩的反射算子Rtar，从而在量子计算机上高效实现Grover算法。
• 该算法结合相位估计算法与Grover算法，在O(L/√δ log(L/ǫ))步内完成吉布斯态的制备，其中L = O(1/√π(x0))，ǫ为精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将量子相位估计算法与Grover算法结合，实现比经典方法更快的吉布斯采样？
• RQ2 使用Szegedy算子时，吉布斯采样的步复杂度在量子加速下如何变化？
• RQ3 马尔可夫链的本征值间隙δ如何影响量子吉布斯采样算法的性能？
• RQ4 混合算子Mhyb能否用于定义一个编码吉布斯分布的酉量子行走？

主要发现

• 该量子算法在O(1/√δ)步内实现吉布斯采样，相较于经典方法所需的O(1/δ)步，实现了二次加速。
• 该算法在Szegedy算子W上使用相位估计算法，以估计混合转移矩阵Mhyb的本征相位，从而实现吉布斯态|√π⟩的制备。
• 围绕目标态|ψ0⟩ = |√π⟩的反射算子Rtar通过受控-V电路以O(√ǫ2)的误差近似，从而实现Grover扩散的高效实现。
• 最终采样分布的总误差被限制在O(ǫ)以内，其中ǫ ≈ L√ǫ2，L为Grover迭代次数，ǫ2为相位估计算法的误差。
• 该算法的步复杂度为O(L/√δ log(L/ǫ))，其中L = O(1/√π(x0))，且在采样贝叶斯网络时达到O(ǫ)的精度。
• 该方法可推广至量子模拟退火与Metropolis-Hastings采样，前提是条件概率P(xt+1_i | xt_{i^c})可计算。