[论文解读] Use of a Quantum Computer to do Importance and Metropolis-Hastings Sampling of a Classical Bayesian Network

Robert R. Tucci|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提出了一种利用量子计算机对经典贝叶斯网络执行重要性采样和梅特ropolis-哈斯廷斯采样的量子算法。通过利用一种将经典贝叶斯网络映射为量子贝叶斯网络（QB网）的量子嵌入技术，该方法能够在量子电路中实现高效采样，并在理论上保证细致平衡性及收敛至目标分布。

ABSTRACT

Importance sampling and Metropolis-Hastings sampling (of which Gibbs sampling is a special case) are two methods commonly used to sample multi-variate probability distributions (that is, Bayesian networks). Heretofore, the sampling of Bayesian networks has been done on a conventional "classical computer". In this paper, we propose methods for doing importance sampling and Metropolis-Hastings sampling of a classical Bayesian network on a quantum computer.

研究动机与目标

• 将先前针对贝叶斯网络的量子采样方法从拒绝采样和似然加权扩展至包含一般重要性采样的所有形式。
• 在经典贝叶斯网络上开发一种用于梅特ropolis-哈斯廷斯采样的量子算法，包括吉布斯采样作为特例。
• 建立一个在量子硬件上模拟经典概率推理的框架，使用量子贝叶斯网络（QB网）。
• 确保所提出的量子采样方法保持细致平衡性，并收敛至正确的目标分布。
• 通过将参考文献[4]中的嵌入技术应用于更广泛的采样算法类别，推广参考文献[5]的先前结果。

提出的方法

• 利用一种量子嵌入技术，将经典贝叶斯网络（CB网）映射为量子贝叶斯网络（QB网），从而实现对经典概率模型的量子模拟。
• 通过制备对应于提议分布的叠加态，并应用幅值放大原理，利用量子电路实现重要性采样。
• 应用受控量子门（如CNOT、Toffoli门）和单量子比特操作，模拟贝叶斯网络中的条件概率转移。
• 设计一种基于提议分布Q(yi|xt)和接受概率αi = min(1, F(xt_i ← yi)/F(yi ← xt_i))的量子梅特ropolis-哈斯廷斯算法，其中F表示概率通量。
• 使用投影算符P_a和泡利矩阵将经典变量状态编码为量子比特状态，从而实现在联合态空间上的酉演化。
• 在量子态上实现随机更新规则：以概率αi将xt+1_i设为yi，否则保持为xt_i，通过受控旋转和测量实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过基于量子线路的方法在量子计算机上高效实现对经典贝叶斯网络的重要性采样？
• RQ2 如何将梅特ropolis-哈斯廷斯算法（包括吉布斯采样）适配至量子计算机，同时保持细致平衡性？
• RQ3 量子贝叶斯网络（QB网）嵌入在实现经典概率图模型的量子模拟中起到何种作用？
• RQ4 量子线路如何确保马尔可夫链的平稳分布与经典贝叶斯网络的目标后验分布一致？
• RQ5 量子梅特ropolis-哈斯廷斯采样中，接受概率与状态转移规则的量子线路实现是什么？

主要发现

• 所提出的量子算法成功将先前的量子采样方法推广至包含所有形式的重要性采样，而不仅限于拒绝采样和似然加权。
• 量子梅特ropolis-哈斯廷斯算法保持了细致平衡性，确保根据马尔可夫链蒙特卡洛理论收敛至正确的目标分布P(x)。
• 接受概率αi定义为min(1, F(xt_i ← yi)/F(yi ← xt_i))，其中F表示概率通量，确保算法保持在有效随机过程的范围内。
• 通过重复应用量子受控转移，该方法实现对目标分布的收敛，且接受新状态的概率与前后向通量之比成正比。
• 该算法对提议分布Q(yi|xt)的选择具有鲁棒性，并且即使Q非对称，也能保持细致平衡性。
• 通过两个示例网络（两体散射和Asia网）的量子线路实现，验证了该框架在现有量子硬件上的可行性。