[论文解读] Quantum mechanics emerging from "timeless" classical dynamics

Hans-Thomas Elze|ArXiv.org|Jun 13, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文提出，通过引入一种从可观测变化与固有时间之间统计分布导出的离散物理时间，量子力学可从确定性的经典动力学中涌现。利用路径积分形式化与正则化方法，作者从经典系统推导出幺正的量子哈密顿量，恢复了隧道效应与幺正演化等量子特征，表明量子力学可能作为底层具有固有时间离散化的经典力学的有效描述而出现。

ABSTRACT

We study classical Hamiltonian systems in which the intrinsic proper time evolution parameter is related through a probability distribution to the physical time, which is assumed to be discrete. In this way, a physical clock with discrete states is introduced, which presently is still treated as decoupled from the system. This is motivated by the recent discussion of ``timeless'' reparametrization invariant models, where discrete physical time has been constructed based on quasi-local observables. Employing the path-integral formulation of classical mechanics developed by Gozzi et al., we show that these deterministic classical systems can be naturally described as unitary quantum mechanical models. We derive the emergent quantum Hamiltonian in terms of the underlying classical one. Such Hamiltonians typically need a regularization - here performed by discretization - in order to arrive at models with a stable groundstate in the continuum limit. This is demonstrated in several examples, recovering and generalizing a model advanced by 't Hooft.

研究动机与目标

• 探索量子力学是否可作为确定性经典动力学的有效理论而涌现。
• 通过引入基于可观测变化的离散物理时间，解决重参数化不变系统中的“时间问题”。
• 发展一种形式化方法，从具有固有时间离散化的经典哈密顿系统中恢复幺正量子力学。
• 证明经典哈密顿量的正则化对于在连续极限下实现稳定基态至关重要。
• 表明诸如隧道效应与幺正演化等量子特征可在此框架下自然地从经典模型中出现。

提出的方法

• 通过概率分布 P(τ; t) = P(τ − t) 引入离散物理时间 t，将其与系统的固有时间 τ 关联。
• 采用 Gozzi 等人发展的经典力学路径积分形式化，定义经典动力学的生成泛函。
• 从经典轨迹的泛函积分中构造类量子态与希尔伯特空间结构。
• 从经典动力学推导出具有非标准哈密顿算符的薛定谔方程。
• 通过离散化实现正则化，以稳定哈密顿量并确保谱下有界。
• 使用投影算符建模准局域探测器，实现时钟自由度的关联与条件概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间被视为离散且物理时，幺正量子力学是否可从确定性经典动力学中涌现？
• RQ2 在原本哈密顿量谱无下界的经典系统中，如何实现稳定基态？
• RQ3 统计分布 P(τ; t) 在连接固有时间与可观测物理时间方面起什么作用？
• RQ4 在确定性经典框架中，如何实现特征性量子系统所具有的隧道效应？
• RQ5 该形式化能否一致地扩展至动态包含时钟自由度，而非将其视为外部固定的？

主要发现

• 该形式化成功地通过具有离散时间的路径积分方法，从确定性经典动力学中推导出幺正的薛定谔方程。
• 所涌现的量子哈密顿量为非标准形式，必须通过正则化——特别是离散化——来确保在连续极限下具有稳定基态。
• 隧道效应，作为量子力学的标志性特征，作为所推导的量子振子模型的内在属性被恢复。
• 该框架自然地从经典系统中导出希尔伯特空间结构与幺正演化，尽管其底层动力学是确定性的。
• 该模型推广并恢复了't Hooft 的早期工作，将其扩展至具有谐振子或自由场类动力学的更广泛经典系统类别。
• 通过在生成泛函中使用投影算符，可一致地描述涉及时钟可观测量的条件概率，从而实现关系性时间描述。