[论文解读] Quasi-isometry classification of right-angled Artin groups II: several infinite out cases

Jingyin Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文通过证明两个此类 RAAGs 当且仅当它们共轭时才彼此 quasi-isometric，确立了两类新的右角 Artin 群（RAAGs）的 quasi-isometry 刚性——这些 RAAGs 具有无限的外自同构群，具体为弱类型 I 和类型 II RAAGs。作者通过引入变形论证和立方化技术，克服了重构映射失效带来的挑战，并提供了一种基于定义图判断 quasi-isometry 的算法。

ABSTRACT

We are motivated by the question that for which class of right-angled Artin groups (RAAG's), the quasi-isometry classification coincides with commensurability classification. This is previously known for RAAG's with finite outer automorphism groups. In this paper, we identify two classes of RAAG's, where their outer automorphism groups are allowed to contain adjacent transvections and partial conjugations, hence infinite. If $G$ belongs to one of these classes, then any other RAAG $G'$ is quasi-isometric to $G$ if and only if $G'$ is commensurable to $G$. We also show that in this case, there exists an algorithm to determine whether two RAAG's are quasi-isometric by looking at their defining graphs. Compared to the finite out case, as well as the previous quasi-isometry rigidity results for symmetric spaces, thick Euclidean buildings and mapping class groups, the main issue we need to deal with here is the reconstruction map may not have nice properties as before, or may not even exist. We introduce a deformation argument, as well as techniques from cubulation to deal with this issue.

研究动机与目标

• 将 RAAGs 的 quasi-isometry 刚性结果从外自同构群有限的情况扩展至更广泛的情形。
• 识别出新的 RAAGs 类别，使得在 Out(G) 无限时，quasi-isometry 仍蕴含共轭性。
• 解决重构映射——先前刚性结果中的关键工具——在 Out(G) 无限情况下可能不存在或性质不佳的挑战。
• 开发基于变形的方法，并利用立方化技术，以绕过对标准重构映射的依赖。
• 提供一种基于定义图判断两个 RAAGs 之间是否 quasi-isometric 的决策算法。

提出的方法

• 基于其定义图的结构特性（特别是星形结构和分离条件），引入弱类型 I 和类型 II RAAGs 的概念。
• 利用扩展复形及其层级/分支结构分析粗几何和 quasi-isometry 不变量。
• 应用立方化技术研究 RAAGs 的几何性质，尤其关注墙和平坦子集的结构。
• 发展一种变形论证，以处理重构映射不存在或非 quasi-isometric 的情形。
• 构造两个 RAAGs 的素数划分复形之间的单纯同构，以比较其粗结构。
• 通过定义图的单纯嵌入定义群单同态，利用交换子关系确保其良好定义性及 quasi-isometry 不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些具有无限 Out(G) 的 RAAGs 类别，quasi-isometry 蕴含共轭性？
• RQ2 当重构映射不存在或缺乏理想性质时，能否避免或替代其使用？
• RQ3 如何利用立方化和变形技术在具有复杂外自同构群的 RAAGs 中建立刚性？
• RQ4 定义图的哪些图论不变量决定了具有无限 Out(G) 的 RAAGs 的 quasi-isometry 类型？
• RQ5 是否存在一种算法，仅基于定义图判断两个 RAAGs 是否 quasi-isometric？

主要发现

• 弱类型 I 或类型 II 的 RAAGs 满足 quasi-isometry 刚性条件：两个此类 RAAGs 当且仅当它们共轭时才彼此 quasi-isometric。
• 对于弱类型 I 的 RAAGs，重构映射始终存在，且该类由不存在分离闭星形以及星形的特定并集条件所表征。
• 在类型 II 情况下，重构映射可能不存在，但通过变形论证和立方化技术仍可实现刚性。
• 构造了一种算法，通过分析其定义图（特别是素数划分复形）来判断 RAAGs 之间的 quasi-isometry。
• 素数划分复形 $ cal{P}( cal{G})$ 是 quasi-isometry 不变量，且此类复形之间的同构蕴含对应 RAAGs 的 quasi-isometry。
• 构造了显式例子，其中 $ cal{P}( cal{G})$ 与 $ cal{P}( cal{G}')$ 同构，但 $G$ 与 $G'$ 并非 quasi-isometric，表明需要更精细的不变量。