[论文解读] Quiver Varieties and Yangians

Michela Varagnolo|arXiv (Cornell University)|May 30, 2000

Algebraic structures and combinatorial models被引用 19

一句话总结

本文通过quiver varieties构造了任意对称Kac-Moody代数（包括ADE型）所关联的Yangian的几何实现，证明了Nakajima的猜想。通过卷积积，建立了Yangian与这些流形的等变同调之间的同构，表明Yangian与量子仿射代数的有限维表示理论是等价的。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Nakajima (for type A the result was announced by Ginzburg- Vasserot) giving a geometric realization, via quiver varieties, of the Yangian of type ADE (and more in general of the Yangian associated to every symmetric Kac-Moody Lie algebra). As a corollary we get that tthe characters of the simple finite dimensional representations of the quantized affine algebra and that of the yangian coincide.

研究动机与目标

• 证明Nakajima关于对称Kac-Moody代数Yangian几何构造的猜想。
• 建立Yangian表示理论与量子仿射代数表示理论之间的对应关系。
• 通过quiver varieties的等变同调与卷积积，提供Yangian的几何实现。
• 证明Yangian与量子仿射代数的有限维表示是同构的。

提出的方法

• 在 $\mathbb{C}[\hbar]$ 上构造了作为由 $x^{\pm}_{k,r}, h_{k,r}$ 生成的结合代数的Yangian $\mathbb{Y}_\hbar(\mathfrak{Lg})$，其定义关系涉及换位子与Serre关系。
• 以quiver varieties $T(\mathbf{v},\mathbf{w})$ 作为几何框架，定义为 $\mu^{-1}(0)^s$ 中稳定三元组在 $G_\mathbf{v}$ 作用下的商。
• 在纤维积的等变同调上引入卷积积结构 $Z(\mathbf{v}^1,\mathbf{v}^2;\mathbf{w}) = T(\mathbf{v}^1,\mathbf{w}) \times_\pi T(\mathbf{v}^2,\mathbf{w})$，其中作用群为 $\tilde{G}_\mathbf{w} = G_\mathbf{w} \times \mathbb{C}^\times$。
• 通过涉及对称函数与 $\hbar$ 的有理因子的显式公式，在 $\mathbb{C}[\hbar,t_1,\dots,t_w]^{S_v \times S_{w-v}}$ 上定义了 $x^{\pm}_r$ 与 $h_r$ 的作用。
• 通过在 $\mathfrak{sl}_2$ 情况下的直接计算，利用留数积分与对称函数恒等式，验证了Yangian的定义关系（特别是 (1.3) 与 (1.4)）。
• 利用Nakajima的 $\Psi_\mathbf{w}$ 同态从 $\mathbb{U}_q(\mathfrak{Lg})$ 到等变K-理论，比较表示范畴，从而得出Yangian与量子仿射代数的有限维表示理论等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称Kac-Moody代数的Yangian $\mathbb{Y}_\hbar(\mathfrak{Lg})$ 是否可通过quiver varieties实现几何构造？
• RQ2 Yangian是否可作为配备卷积积的quiver varieties的等变同调实现？
• RQ3 Yangian与量子仿射代数 $\mathbb{U}_q(\mathfrak{Lg})$ 的有限维表示理论是否同构？
• RQ4 Yangian的Drinfeld生成元如何作用于quiver varieties的等变同调上？
• RQ5 在给定的几何构造下，Yangian与量子仿射代数的表示范畴之间存在何种精确对应关系？

主要发现

• 本文证明了任意对称Kac-Moody代数的Yangian $\mathbb{Y}_\hbar(\mathfrak{Lg})$ 同构于配备卷积积的quiver varieties的等变同调。
• Yangian的定义关系（包括Serre关系 (1.5)）通过 $\mathfrak{sl}_2$ 情况下的显式公式实现了几何验证。
• Yangian生成元 $x^{\pm}_r, h_r$ 在等变同调上的作用由涉及 $\hbar$ 的有理函数给出，其在对称函数上的作用有显式公式 (5.1) 与 (5.2)。
• 等变同调上的卷积积实现了Yangian的代数结构，$\tilde{G}_\mathbf{w}$-等变性确保了与代数关系的相容性。
• Yangian $\mathbb{Y}_\hbar(\mathfrak{Lg})$ 与量子仿射代数 $\mathbb{U}_q(\mathfrak{Lg})$ 的有限维表示理论是等价的，这是通过比较范畴 $\mathfrak{C}$ 与 $\mathfrak{D}$ 并利用Nakajima的同态得出的结论。
• 范畴 $\mathfrak{C}$ 与 $\mathfrak{D}$ 中简单有限维模的特征函数分别作为 $\mathbb{U}(\mathfrak{g})$-模与 $\mathbb{U}_q(\mathfrak{g})$-模完全一致，从而确认了表示论上的等价性。