[论文解读] Generators for Coulomb branches of quiver gauge theories

Alex Weekes|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 15

一句话总结

该论文证明，当变形参数 $η=1$ 时，3D $\mathcal{N}=4$ 引力图规范理论的量化Coulomb分支同构于截断的平移Yangian代数；在有限ADE型中，这一同构可延拓为 $\mathbb{C}[\hbar]$ 上的分次同构。论文进一步证明，该代数由“装扮过的极小权单极子算符”生成，从而通过表示论与范畴化结构，给出了Coulomb分支的完整代数描述。

ABSTRACT

We study the Coulomb branches of $3d$ $\mathcal{N}=4$ quiver gauge theories, focusing on the generators for their quantized coordinate rings. We show that there is a surjective map from a shifted Yangian onto the quantized Coulomb branch, once the deformation parameter is set to $\hbar =1$. In finite ADE type, this extends to a surjection over $\mathbb{C}[\hbar]$. We also show that these algebras are generated by the dressed minuscule monopole operators, for an arbitrary quiver (this is similar to the proof of Theorem 4.29 in arXiv:1811.12137). Finally, we describe how the KLR Yangian algebra from arXiv:1806.07519 is related to Webster's extended BFN category. This paper provides proofs for two results which were announced in arXiv:1806.07519.

研究动机与目标

• 为3D $\mathcal{N}=4$ 引力图规范理论的量化Coulomb分支提供完整的代数描述。
• 建立从平移Yangian到量化Coulomb分支的满射映射，并在有限ADE型中证明其为同构。
• 证明对于任意引理图，Coulomb分支均由装扮过的极小权单极子算符生成。
• 通过范畴化与代数结构，将[KTW+18]中的KLR Yangian代数与Webster的扩展BFN范畴联系起来。

提出的方法

• 利用BFN构造方法，将Coulomb分支定义为卷积代数，从而在 $\mathbb{C}[\hbar]$ 上实现形变量化。
• 应用Rees代数构造，将 $\hbar=1$ 时的同构提升为有限ADE型下 $\mathbb{C}[\hbar]$ 上的分次同构。
• 构造代数图 $\mathcal{A}^{\mathsf{sph}} \to \mathcal{A} \leftarrow \mathcal{A}^{\mathsf{ab}}$，以关联Coulomb分支与范畴化结构。
• 通过图解基比较KLR代数 $\mathscr{B}^\mathbf{v}$ 与平移Yangian $Y_\mu^\lambda$ 的多项式表示。
• 利用Weyl群中的最短路径定义态射空间的基，并将其与Yangian中的图解生成元匹配。
• 通过匹配柱状KLR图中生成元的像，验证包含 $Y_\mu^\lambda$、$\mathsf{e} \reflectbox{\rm R}_{\hbar=1} \mathsf{e}$ 与 $\mathcal{A}^{\mathsf{sph}}_{\hbar=1}$ 的图的交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\hbar=1$ 时，3D $\mathcal{N}=4$ 引力图规范理论的量化Coulomb分支是否同构于截断的平移Yangian代数？
• RQ2 该同构是否可在有限ADE型中延拓为 $\mathbb{C}[\hbar]$ 上的分次同构？
• RQ3 对于任意引理图，装扮过的极小权单极子算符是否足以生成整个量化Coulomb分支代数？
• RQ4 在Coulomb分支的背景下，[KTW+18]中的KLR Yangian代数与Webster的扩展BFN范畴之间有何关系？

主要发现

• 存在 $\mathbb{C}$-代数同构 $Y_\mu^\lambda \cong \mathcal{A}^{\mathsf{sph}}_{\hbar=1}$，证明Coulomb分支由 $H_{\mathbf{G}}^\ast(pt)$ 的多项式环与装扮过的极小权单极子算符生成。
• 在有限ADE型中，存在分次 $\mathbb{C}[\hbar]$-代数同构 $\mathbf{Y}_\mu^\lambda \cong \mathcal{A}^{\mathsf{sph}}$，将 $\hbar=1$ 的结果推广为完整的形变。
• 在有限ADE型中，Coulomb分支的坐标环由装扮过的极小权单极子算符 $M_{\varpi_{i,1},f}$ 与 $M_{\varpi_{i,1}^*,f}$ 生成。
• 映射 $Y_\mu^\lambda \to \mathsf{e} \reflectbox{\rm R}_{\hbar=1} \mathsf{e}$ 是同构，从而完成对[KTW+18, 定理4.19]的证明。
• 通过范畴 $\mathscr{B}^\mathbf{v}$ 建立了 $\mathcal{A}^{\mathsf{sph}}$ 与 $\mathsf{e} \mathcal{A} \mathsf{e}$ 之间的同构，将Coulomb分支与范畴结构联系起来。
• Yangian生成元 $F_i^{(r)}$ 的像对应于自同态 $\partial_{i,\mathbf{v}_i} \cdots \partial_{i,2} z_1^{r-1} r_{\boldsymbol{\lambda}} \mathsf{e}$，与柱状KLR图中的像完全匹配。