[论文解读] RC-positivity and the generalized energy density I: Rigidity

Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用 10

一句话总结

本文在光滑黎曼流形与复流形之间的映射的射影丛 $\mathbb{P}(T_M) \to M$ 上引入了一种新的广义能量密度函数 $\mathscr{Y}$，推导出新颖的 Hessian 估计，从而建立了全纯、调和及全纯调和映射的刚性定理。其核心贡献在于证明：从具有正全纯截面曲率的紧致复流形到具有非正曲率的复流形，不存在非平凡的全纯映射，该结果通过 RC-正性与曲率分析，推广了经典刚性结果。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new energy density function $\mathscr Y$ on the projective bundle $\mathbb{P}(T_M)\>M$ for a smooth map $f:(M,h)\>(N,g)$ between Riemannian manifolds $$\mathscr Y=g_{ij}f^i_αf^j_β\frac{W^αW^β}{\sum h_{γδ} W^γW^δ}.$$ We get new Hessian estimates to this energy density and obtain various new Liouville type theorems for holomorphic maps, harmonic maps and pluri-harmonic maps. For instance, we show that there is no non-constant holomorphic map from a compact \emph{Hermitian manifold} with positive (resp. non-negative) holomorphic sectional curvature to a \emph{Hermitian manifold} with non-positive (resp. negative) holomorphic sectional curvature.

研究动机与目标

• 在黎曼流形与复流形之间的光滑映射的射影丛 $\mathbb{P}(T_M) \to M$ 上，发展一种新的广义能量密度 $\mathscr{Y}$。
• 推导 $\mathscr{Y}$ 的新 Hessian 估计，其在部分曲率正性（特别是 RC-正性）下具有有效性。
• 在紧致流形上建立全纯、调和及全纯调和映射的新 Liouville 型刚性定理。
• 通过用全纯截面曲率与 RC-正性替代凯勒或 Ricci 曲率假设，推广经典刚性结果。
• 通过广义能量框架，探索在全纯函数理论、调和映射稳定性及复流形双曲性方面应用。

提出的方法

• 使用全纯坐标与纤维坐标 $W^\alpha$，在 $\mathbb{P}(T_M) \to M$ 上定义广义能量密度 $\mathscr{Y} = g_{ij}f^i_\alpha f^j_\beta \frac{W^\alpha W^\beta}{\sum h_{\gamma\delta}W^\gamma W^\delta}$。
• 推导复 Hessian 估计（定理 1.1）：$\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\mathscr{Y} \geq \left(\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\log\mathscr{H}^{-1}\right)\mathscr{Y} - \frac{\sqrt{-1}R_{i\overline{j}k\overline{\ell}}f^i_\alpha \overline{f^j_\beta}f^k_\mu \overline{f^\ell_\nu}W^\mu \overline{W}^\nu dz^\alpha \wedge d\overline{z}^\beta}{\mathscr{H}}$。
• 利用 Hessian 估计证明刚性：若 $M$ 具有正全纯截面曲率，$N$ 具有非正曲率，则任意全纯映射 $f: M \to N$ 必为常值。
• 通过利用广义能量密度与目标流形上的曲率正性条件，将该方法应用于调和与全纯调和映射。
• 定义黎曼曲率张量的 RC-正性，并将能量密度框架扩展至黎曼情形，从而实现类似的 Hessian 与刚性结果。
• 探讨 Grassmann 纤维丛 $\mathrm{Gr}(k,T_M)$ 的推广，并利用 RC-正性与 Demailly-Semple 塔方法将该方法应用于双曲性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}(T_M)$ 上定义的新能量密度能否在弱于凯勒或 Ricci 曲率的曲率假设下，对全纯映射产生更强的刚性结果？
• RQ2 广义能量密度 $\mathscr{Y}$ 是否具有能检测曲率正性的 Hessian 估计，即使在全双截面曲率或 Ricci 曲率不为正时亦然？
• RQ3 该方法能否仅通过全纯截面曲率或 RC-正性，证明调和与全纯调和映射的刚性？
• RQ4 是否存在 RC-正流形到 Brody 双曲流形之间非平凡映射不存在的微分几何证明？
• RQ5 广义能量框架能否推广至 Grassmann 纤维丛，并用于研究高阶曲率正性？

主要发现

• 不存在从具有正全纯截面曲率的紧致复流形到具有非正全纯截面曲率的复流形的非平凡全纯映射。
• 广义能量密度 $\mathscr{Y}$ 具有 Hessian 估计（定理 1.1），其包含曲率项与典范线丛度量 $\mathscr{H}^{-1}$。
• 对于映射到 $\mathbb{C}$ 的全纯映射，Hessian 估计简化为 $\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\mathscr{Y} \geq \left(\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\log\mathscr{H}^{-1}\right)\mathscr{Y}$，从而可导出 Liouville 型结果。
• 若目标流形具有非正复曲面曲率，且源流形的切丛具有 RC-正性，则任意 Hermitian 调和映射必为常值。
• 通过曲率张量的 RC-正性，该方法可扩展至黎曼流形，从而在无需凯勒假设下实现调和映射的刚性结果。
• 该框架支持对双曲流形的猜想性推广，提出的方法结合 RC-正性与 Demailly-Semple 塔方法。