[论文解读] Curvatures of moduli space of curves and applications

Kefeng Liu, Xiaofeng Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 11

一句话总结

本文证明了亏格 $g \geq 2$ 的曲线模空间配备 Weil-Petersson 度量后，具有强烈的曲率负性性质，包括对偶-Nakano 负性与拟-Nakano 负性曲率，进而导致黎曼曲率算子与复截面曲率非正。作为关键应用，本文证明了在阿贝尔簇模空间的 Torelli 子簇中，任何有限体积的全测地子流形必为球面商，通过微分几何方法支持了 Oort 的猜想。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the geometry of the moduli space of curves by using the curvature properties of direct image sheaves of vector bundles. We show that the moduli space $(M_g, ω_{WP})$ of curves with genus $g>1$ has dual-Nakano negative and semi-Nakano-negative curvature, and in particular, it has non-positive Riemannain curvature operator and also non-positive complex sectional curvature. As applications, we prove that any submanifold in $M_g$ which is totally geodesic in $A_g$ with finite volume must be a ball quotient.

研究动机与目标

• 研究亏格 $g \geq 2$ 的曲线模空间上 Weil-Petersson 度量的曲率性质。
• 为模空间 $\mathcal{M}_g$ 建立强烈的曲率负性，包括对偶-Nakano 负性与拟-Nakano 负性曲率。
• 将曲率性质应用于解决 Oort 关于 $\mathcal{A}_g$ 的 Torelli 子簇中不存在非平凡局部对称子簇的猜想。
• 利用微分几何方法，证明在 Torelli 子簇中，任何有限体积的全测地子流形必为球面商。

提出的方法

• 利用向量丛的直接像层的曲率公式，作者计算了 $T^*\mathcal{M}_g$ 上 Weil-Petersson 度量对偶的曲率。
• 应用 [11] 中的技术与 [2]、[12]、[23] 的曲率公式，作者推导出 $\mathcal{M}_g$ 上 Weil-Petersson 度量的曲率性质。
• 在凯勒流形上建立曲率关系的层级结构，表明从对偶-Nakano 负性可推出非正的黎曼曲率算子与复截面曲率。
• 通过 Torelli 映射 $j: \mathcal{M}_g \to \mathcal{A}_g$，作者将 $\mathcal{M}_g$ 的几何与阿贝尔簇模空间上 Hodge 度量的几何联系起来。
• 应用刚性定理（例如 To 的定理 5.2），证明若 $V$ 上具有严格负的全纯双截面曲率，且 $j(V)$ 上曲率为非正，则 $j(V)$ 必为球面商。
• 利用 Mok 的结果表明，若 $\mathcal{M}_g$ 中的局部对称空间的秩大于 1，则与 Weil-Petersson 度量的严格曲率负性矛盾，因此其秩必为 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 模空间 $\mathcal{M}_g$ 配备 Weil-Petersson 度量是否具有强烈的曲率负性性质？
• RQ2 在 $\mathcal{M}_g$ 的背景下，对偶-Nakano 负性会带来哪些曲率影响？
• RQ3 能否利用 $\mathcal{M}_g$ 的曲率性质排除 Torelli 子簇中高秩局部对称子簇的存在？
• RQ4 Torelli 映射是否以某种方式保持曲率约束，从而迫使 $\mathcal{A}_g$ 中的有限体积全测地子流形为球面商？

主要发现

• 当 $g \geq 2$ 时，模空间 $({\mathcal{M}}_g,\omega_{\mathrm{WP}})$ 为对偶-Nakano 负性与拟-Nakano 负性。
• 作为推论，$({\mathcal{M}}_g,\omega_{\mathrm{WP}})$ 具有非正的黎曼曲率算子与非正的复截面曲率。
• 任何满足 $j(V)$ 在 $({\mathcal{A}}_g,\omega_H)$ 中全测地且体积有限的子流形 $V \subset \mathcal{M}_g$ 必为球面商。
• 该结果通过微分几何方法确认了 Oort 猜想，表明不存在高秩局部对称空间以全纯方式嵌入到配备 Weil-Petersson 度量的 $\mathcal{M}_g$ 中。
• 定理 1.1 建立的曲率层级表明，对偶-Nakano 负性蕴含非正的黎曼曲率算子、复截面曲率与全纯双截面曲率。
• 推论 1.6 确认，任何从局部对称空间 $X = \Omega/\Gamma$ 到 $({\mathcal{M}}_g,\omega_{\mathrm{WP}})$ 的非常值全纯映射，必有 $\Omega$ 的秩为 1，即 $X$ 为球面商。