[论文解读] Real analyticity of Hausdorff dimension for expanding rational semigroups

Hiroki Sumi, Mariusz Urbański|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文建立了在黎曼球面上的解析族扩张有理半群的 Julia 集的 Hausdorff 维数的实解析性与拟凸性。通过将热力学形式主义与 Kato-Rellich 摄动理论应用于压强函数和 Bowen 公式，在开集条件成立时，证明了 Hausdorff 维数是参数的实解析函数，且给出了显式例子表明其可小于或大于 2。

ABSTRACT

We consider the dynamics of expanding semigroups generated by finitely many rational maps on the Riemann sphere. We show that for an analytic family of such semigroups, the Bowen parameter function is real-analytic and plurisubharmonic. Combining this with a result obtained by the first author, we show that if for each semigroup of such an analytic family of expanding semigroups satisfies the open set condition, then the function of the Hausdorff dimension of the Julia set is real-analytic and plurisubharmonic. Moreover, we provide an extensive collection of classes of examples of analytic families of semigroups satisfying all the above conditions and we analyze in detail the corresponding Bowen's parameters and Hausdorff dimension function.

研究动机与目标

• 建立解析族扩张有理半群的 Julia 集的 Hausdorff 维数的实解析性。
• 证明即使在不满足开集条件时，Bowen 参数函数也是实解析且拟凸的。
• 在开集条件成立时，证明 Hausdorff 维数是参数的实解析且拟凸函数。
• 提供显式例子，说明在某些解析族中 Hausdorff 维数严格小于或大于 2。
• 利用摄动理论分析压强函数及其对参数的依赖性。

提出的方法

• 利用热力学形式主义与压强函数，将 Bowen 参数定义为压强的唯一零点。
• 应用 Kato-Rellich 摄动理论，证明压强函数在复参数下的实解析性。
• 应用隐函数定理，推导出 Bowen 参数函数的实解析性。
• 在开集条件成立时，通过 Bowen 公式建立 Bowen 参数与 Hausdorff 维数之间的关系。
• 在全纯族中研究 Perron-Frobenius 型算子，以分析其谱性质。
• 应用斜积动力系统与结构稳定性的结果，验证扩张性与开集条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在解析族中，扩张有理半群的 Julia 集的 Hausdorff 维数作为参数的函数是否为实解析函数？
• RQ2 在何种条件下，Bowen 参数函数是实解析且拟凸的？
• RQ3 在扩张有理半群的解析族中，Hausdorff 维数是否可能超过 2？
• RQ4 Hausdorff 维数严格小于 2 的充分条件是什么？
• RQ5 开集条件如何影响 Hausdorff 维数函数的解析性与取值？

主要发现

• 当开集条件成立时，Hausdorff 维数作为参数的函数是实解析且拟凸的。
• 即使在不满足开集条件时，Bowen 参数函数仍是实解析且拟凸的。
• 存在解析族使得 Hausdorff 维数严格小于 2，例如当多项式生成元满足 ∑1/d_j < 1 时。
• 存在解析族使得 Hausdorff 维数大于 2，例如当生成元为 z^m 且有 s 个此类生成元，s > m 时。
• 在 z^{d_j} 附近的通用族中，若 ∑1/d_j < 1，则在某个开集上 Hausdorff 维数严格小于 2。
• 当 i ≠ j 时，若 m_2(g_i^{-1}(J(G)) ∩ g_j^{-1}(J(G))) > 0，则 δ(g) > 2，且该性质在邻域内保持不变。