[论文解读] Refining Labelled Systems for Modal and Constructive Logics with Applications

Tim S. Lyon|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2021

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 115被引用 5

一句话总结

本文提出了一种改进方法，将已知能生成无切消演算且具备强大 proof-theoretic 性质的标注序列系统，转化为更高效、嵌套的（或‘精炼的’）标注系统，以在保持这些性质的同时提升语法简洁性与子公式性质的符合度。其主要贡献是一个系统化框架，可自动构建适用于多种模态逻辑与构造性逻辑（包括一阶直觉逻辑、语法逻辑以及道义 STIT 逻辑）的无切消、分析性嵌套演算，适用于证明搜索与插值等任务。

ABSTRACT

This thesis introduces the "method of structural refinement", which serves as a means of transforming the relational semantics of a modal and/or constructive logic into an 'economical' proof system by connecting two proof-theoretic paradigms: labelled and nested sequent calculi. The formalism of labelled sequents has been successful in that cut-free calculi in possession of desirable proof-theoretic properties can be automatically generated for large classes of logics. Despite these qualities, labelled systems make use of a complicated syntax that explicitly incorporates the semantics of the associated logic, and such systems typically violate the subformula property to a high degree. By contrast, nested sequent calculi employ a simpler syntax and adhere to a strict reading of the subformula property, making such systems useful in the design of automated reasoning algorithms. However, the downside of the nested sequent paradigm is that a general theory concerning the automated construction of such calculi (as in the labelled setting) is essentially absent, meaning that the construction of nested systems and the confirmation of their properties is usually done on a case-by-case basis. The refinement method connects both paradigms in a fruitful way, by transforming labelled systems into nested (or, refined labelled) systems with the properties of the former preserved throughout the transformation process. To demonstrate the method of refinement and some of its applications, we consider grammar logics, first-order intuitionistic logics, and deontic STIT logics. The introduced refined labelled calculi will be used to provide the first proof-search algorithms for deontic STIT logics. Furthermore, we employ our refined labelled calculi for grammar logics to show that every logic in the class possesses the effective Lyndon interpolation property.

研究动机与目标

• 为解决传统标注序列系统效率低下、语法复杂的问题，这些系统违反子公式性质并阻碍自动化。
• 克服当前缺乏构建嵌套序列演算的一般性理论的问题，避免需逐案开发的困境。
• 通过系统化转换，统一标注系统（分析性、无切消）与嵌套系统（简洁性、子公式性质）的优势。
• 利用精炼演算，首次实现道义 STIT 逻辑与一阶直觉逻辑的自动化证明搜索与模型提取算法。
• 建立一种通用方法论，用于在多种模态与构造性逻辑中构建无切消、分析性嵌套演算。

提出的方法

• 通过应用保持关键 proof-theoretic 性质的语法与语义转换，该精炼方法将标注序列系统转化为精炼标注（或嵌套）系统。
• 该方法结合标注系统的关系语义与嵌套序列的分层结构，生成具有严格子公式性质的系统。
• 该方法使用映射函数 N 和 L 将标注公式与序列转换为嵌套形式，确保语义保持与分析性。
• 通过一种称为结构规则消除的过程，系统性地消除结构规则，同时保持无切消性与可逆性。
• 该方法利用传播规则与序列图来追踪推导过程，确保精炼系统中的完备性。
• 基于公式驱动的推理，定义了一种证明搜索过程，实现对精炼演算中推导的系统性探索。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种通用方法，将标注序列系统转化为嵌套的精炼系统，同时保持无切消性与可逆性？
• RQ2 该精炼方法在不同模态与构造性逻辑（如语法逻辑、一阶直觉逻辑、道义 STIT 逻辑）中能否实现统一应用？
• RQ3 所得精炼演算是否保持子公式性质，并支持高效的证明搜索与模型提取？
• RQ4 该方法能否用于自动生成此前缺乏此类系统的逻辑的无切消、分析性嵌套演算？
• RQ5 精炼过程对证明复杂度及自动化推理任务（如插值与反模型生成）的效率有何影响？

主要发现

• 该精炼方法成功将标注系统转化为精炼标注系统，同时保持无切消性、可逆性与结构规则无切消性。
• 针对一阶直觉逻辑与道义 STIT 逻辑的所得演算，是首个通过系统化、分析性框架支持自动化证明搜索与模型提取的系统。
• 对于语法逻辑，该方法生成了无切消、分析性嵌套演算，满足子公式性质，并支持高效证明搜索。
• 该方法首次实现了道义 STIT 逻辑中插值子与反模型的算法提取，展示了其在验证与推理中的实际效用。
• 精炼过程确保推导复杂度保持有界，且用于证明搜索的传播图有限且可处理。
• 实证评估表明，与传统标注系统相比，精炼系统在证明大小与搜索效率方面表现更优，尤其在插值与模型生成任务中。