[论文解读] Regular Maximal Monotone Multifunctions and Enlargements

Andrei Verona, Maria Elena Verona|ArXiv.org|Jun 8, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文利用近期的和定理结果，在一般巴拿赫空间中建立了正则极大单调多值函数的新刻画，证明此类算子是正则的充分必要条件是其与任意有界极大单调多值函数的和仍为极大单调。此外，本文对两类扩张的定义域进行了刻画：其一表明 $ T^\varepsilon $ 的定义域等于 $ D_T $ 当且仅当 $ T $ 是正则的；其二证明 $ T_\varepsilon $ 的定义域包含于 $ D_T $ 的闭包中，将已知在自反空间中的结果推广至一般巴拿赫空间。

ABSTRACT

In this note we use recent results concerning the sum theorem for maximal monotone multifunctions in general Banach spaces to find new characterizations and properties of regular maximal monotone multifunctions and then use these to describe the domain of certain enlargements.

研究动机与目标

• 利用近期的和定理结果，在一般巴拿赫空间中提供正则极大单调多值函数的新刻画。
• 建立正则极大单调多值函数与有界极大单调多值函数之和仍为极大单调的条件。
• 刻画极大单调多值函数两类扩张 $ T^\varepsilon $ 和 $ T_\varepsilon $ 的定义域，尤其关注其与原定义域闭包的关系。
• 阐明正则性与扩张结构之间的关系，特别是在非自反空间中的情形。

提出的方法

• 利用一般巴拿赫空间中极大单调多值函数的和定理，推导正则性的新刻画。
• 应用 Debrunner-Flor 延拓定理，确保有界单调多值函数的定义域为整个空间。
• 通过函数 $ g_{\lambda,x}(z) = \lambda\|z - x\| $ 的次微分构造扰动 $ T + \partial g_{\lambda,x} $，并分析其极大性。
• 引入两类扩张：$ T^\varepsilon(x) = \{x^* \in X^* : \langle x^* - y^*, x - y \rangle \geq -\varepsilon \text{ 对所有 } (y,y^*) \in G(T)\} $ 和 $ T_\varepsilon(x) = \{x^* \in X^* : \langle x^* - y^*, x - y \rangle \geq -\varepsilon \text{ 对所有 } (y,y^*) \in G(T)\} $，分析其定义域性质。
• 利用量 $ L(x,x^*,T) = \sup_{y \neq x} \frac{\langle x^* - y^*, x - y \rangle}{\|x - y\|} \vee 0 $ 通过 $ L(x,x^*,T) = d(x^*, T(x)) $ 来刻画正则性。
• 应用对偶强极大单调多值函数的概念，证明其与正则性等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般巴拿赫空间中，正则极大单调多值函数与有界极大单调多值函数之和在何种条件下仍为极大单调？
• RQ2 何时 $ T^\varepsilon $ 的定义域等于 $ T $ 的定义域？这与正则性有何关联？
• RQ3 对于正则极大单调多值函数，$ T_\varepsilon $ 的定义域如何与 $ D_T $ 的闭包相关？
• RQ4 正则性与扩张 $ T^\varepsilon $ 和 $ T_\varepsilon $ 的结构之间存在何种精确关系？
• RQ5 是否能通过 $ T + \partial g_{\lambda,x} $ 对所有 $ x \in X $ 和 $ \lambda > 0 $ 的极大性来刻画正则性？

主要发现

• 正则极大单调多值函数 $ T $ 与任意有界极大单调多值函数 $ S $ 的和是极大单调的，该结论通过 Debrunner-Flor 延拓定理及 $ S $ 的有界性得以证明。
• 极大单调多值函数 $ T $ 是正则的，当且仅当对所有 $ x \in X $ 和 $ \lambda > 0 $，$ T + \partial g_{\lambda,x} $ 是极大单调的，从而为正则性提供了一种新的操作性判据。
• $ T^\varepsilon $ 的定义域等于 $ D_T $ 当且仅当 $ T $ 是正则的，建立了基于定义域的正则性刻画。
• 对任意正则极大单调多值函数 $ T $，$ T_\varepsilon $ 的定义域包含于 $ D_T $ 的闭包中，即 $ D_{T_\varepsilon} \subseteq \overline{D_T} $，将自反空间中已知结果推广至一般巴拿赫空间。
• 正则性等价于对所有 $ (x,x^*) \in X \times X^* $ 满足 $ L(x,x^*,T) = d(x^*, T(x)) $，这正是正则性的定义性质。
• 当 $ T $ 为正则时，$ T^\varepsilon $ 满足 $ d(x^*, T^\varepsilon(x)) = L(x,x^*,T^\varepsilon) $，表明度量定义与基于单调性的定义具有一致性。