[论文解读] Regular multiplier Hopf algebroids. Basic theory and examples

Thomas Timmermann, Alfons Van Daele|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文引入了正则乘子霍普夫胚丛作为霍普夫胚丛和弱乘子霍普夫代数的非幺元推广，确立了两个典型映射的双射性与对合的存在性等价。本文刻画了对合的可逆性，并提供了基础理论及具启发性的例子。

ABSTRACT

Multiplier Hopf algebroids are algebraic versions of quantum groupoids that generalize Hopf algebroids to the non-unital case and weak (multiplier) Hopf algebras to non-separable base algebras. The main structure maps of a multiplier Hopf algebroid are a left and a right comultiplication. We show that bijectivity of two associated canonical maps is equivalent to the existence of an antipode, discuss invertibility of the antipode, and present some examples and special cases.

研究动机与目标

• 为乘子霍普夫胚丛建立基础理论，作为非幺元情形下量子群胚的代数类比。
• 通过将其推广至非分离基代数，对霍普夫胚丛和弱乘子霍普夫代数进行推广。
• 在该推广框架下，确立对合存在的条件。
• 研究在乘子霍普夫胚丛语境中对合的可逆性。
• 呈现具体例子与特殊情形，以说明理论的实际应用。

提出的方法

• 通过非幺元代数上的左与右共乘法映射，引入乘子霍普夫胚丛的结构。
• 定义与共乘法相关的两个典型映射，并将其双射性作为关键结构条件进行分析。
• 证明这两个典型映射的双射性等价于对合的存在性。
• 利用从典型映射导出的代数条件，分析对合的可逆性。
• 构造正则乘子霍普夫胚丛的例子，包括群胚代数和弱乘子霍普夫代数等特殊情况。
• 运用范畴论与代数技巧，将单一同构与分离情形下的已知结果推广至非幺元、非分离情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在乘子霍普夫胚丛中，什么条件可确保对合的存在？
• RQ2 典型映射的双射性与对合存在性之间有何关系？
• RQ3 乘子霍普夫胚丛理论在何种方式下可推广霍普夫胚丛与弱乘子霍普夫代数？
• RQ4 在该框架中，对合可逆性具有何种结构意义？
• RQ5 正则乘子霍普夫胚丛的代表性例子与特殊情形有哪些？

主要发现

• 在乘子霍普夫胚丛中，对合的存在性等价于由共乘法导出的两个典型映射的双射性。
• 当且仅当典型映射满足特定代数条件时，对合可逆，该结果推广了单一本征情形下的已知结论。
• 该框架成功地将霍普夫胚丛与弱乘子霍普夫代数推广至非幺元与非分离基代数。
• 例子包括群胚代数与弱乘子霍普夫代数，其被证明自然地契合于新框架。
• 该理论为更广泛、非幺元语境下的量子群胚提供了连贯的代数基础。
• 典型映射作为核心工具，用于刻画对合的存在性与可逆性等结构性性质。