[論文レビュー] Skew Hopf algebras, irreducible extensions and the pi-method

Lars Kadison|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、可換な双代数的構造の双対である二つの非退化的双対性を用いて、$A|B$ という深さ2の拡大における、中心化子 $R = C_A(B)$ が $B$ の部分代数である非可約な深さ2拡大に関連する双代数的構造から、新しいクラスのホープ・アーベイドロイド、すなわち歪みホープ代数を構成することにより、反自己同型を定義する。主な貢献は、$\pi$-法を用いた一貫した方法により、モジュールへの反自己同型および双対性の一般化を可能とし、左および右の$\pi$-法から得られるコチェーン複体の間のノルムホモトピー的写像を確立することにある。

ABSTRACT

To a depth two extension A | B, we associate the dual bialgebroids S := \End {}_BA_B and T := (A ø_B A)^B over the centralizer R=C_A(B). In the set-up where R is a subalgebra of B, which is quite common, two nondegenerate pairings of S and T will define an anti-automorphism τof the algebra S. Making use of a two-sided depth two structure, we prove that τis an antipode and S is a Hopf algebroid of a type we call skew Hopf algebra. A final section discusses how τand the nondegenerate pairings generalize to modules via the pi-method for depth two, and a certain derived mapping of cochain complexes is nullhomotopic.

研究の動機と目的

• 深さ2拡大における双代数的構造から、反自己同型を構成することにより、新しいホープ・アーベイドロイドのクラス、すなわち歪みホープ代数を定義すること。
• 深さ2拡大における$\pi$-法を用いて、代数からモジュールへの反自己同型および非退化的双対性を一般化すること。
• $R \subseteq B$ を満たす非可約拡大の文脈において、二つの非退化的双対性の差が、正しく定義された反自己同型としてのホープ代数の公理を満たす条件を確立すること。
• 両側深さ2構造が、フロベニウス構造を仮定しないホープ・アーベイドロイドのすべての公理を満たす反自己同型の構成を可能にすることを示すこと。

提案手法

• 中心化子 $R = C_A(B)$ を基に、双代数的構造 $S = \mathrm{End}_B A_B$ と $T = (A \otimes_B A)^B$ を定義する。
• $S$ と $T$ 間の二つの非退化的双対性を用いて、$S$ 上の反自己同型 $\tau$ を定義する。
• 両側深さ2構造を用いて、$\tau$ がホープ・アーベイドロイドの反自己同型公理を満たすことを証明する。
• $\pi$-法を用いて、$A$-双モジュールのコチェーン複体を通じて、$\tau$ および双対性をモジュールへ一般化する。
• 左および右の$\pi$-法から得られるコチェーン複体の間のノルムホモトピー的写像を構成する。
• 左および右のD2準基底 $\beta_i, t_i$ および $\gamma_j, u_j$ を用いて、同型を確立し、双代数的構造の公理を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フロベニウス構造やH-分離構造を仮定しない場合、深さ2拡大から生じる双代数的構造に対して、反自己同型を体系的に定義する方法は何か？
• RQ2 二つの非退化的双対性の差が、$S = \mathrm{End}_B A_B$ の自己同型として正しく定義された反自己同型を与えるための条件は何か？
• RQ3 $\pi$-法は、深さ2拡大における代数からモジュールへの反自己同型および双対性をどのように一般化するか？
• RQ4 両側深さ2条件は、$S$ 上に歪みホープ代数構造を構成するためにどのように寄与するか？

主な発見

• 二つの非退化的双対性の差として定義される反自己同型 $\tau$ は、ホープ・アーベイドロイドのすべての公理を満たし、$S$ が歪みホープ代数であることを示す。
• $\tau$ の構成は、フロベニウス構造やH-分離構造の仮定に依存せず、両側深さ2構造に強く依存している。
• 非可約拡大の状況で $R \subseteq B$ が成り立つ場合、$T$ の左および右の$R$-双対が一致し、双対性の構成が可能になる。
• $\pi$-法により、反自己同型および双対性がモジュールへ一般化され、左および右の$\pi$-複体の間の写像がノルムホモトープであることが示された。
• 左D2準基底を用いて、$A$-双モジュール $M$ に対して $T \otimes_R M \cong A \otimes_B M$ が成り立つことが確立され、コチェーン複体の同型が支持された。
• 恒等式 $\delta^n s_n + s_{n+1} d^{n+2} = \Phi_{n+2}$ により、$\pi$-法の写像のノルムホモトピー性が確認され、モジュールへの一般化が正当化された。