[论文解读] Regularity estimates of solutions to complex Monge-Ampère equations on Hermitian manifolds

Xi Zhang, XiangWen Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文首次建立了赫米蒂安流形上复蒙日-安培方程解的内部 $C^{2}$ 和局部卡拉比 $C^{3}$ 估计，将贝德福德-泰勒与卡拉比的经典估计从凯勒情形推广至非凯勒设置。通过适配子问题方法并使用加权次解，作者在具有非零挠率的一般赫米蒂安度量下，获得了尺度与平移不变的 $Ω^{1,1}$ 正则性估计。

ABSTRACT

In this paper, we obtain the Bedford-Taylor interior $C^{2}$ estimate and local Calabi $C^{3}$ estimate for the solutions to complex Monge-Ampère equations on Hermitian manifolds.

研究动机与目标

• 将贝德福德-泰勒的内部 $C^{2}$ 估计推广至非凯勒的赫米蒂安流形设置，其中度量非闭且挠率非零。
• 将卡拉比的局部 $C^{3}$ 估计推广至赫米蒂安流形，填补非凯勒几何设置下文献中的空白。
• 在一般赫米蒂安度量下，提供与尺度和平移无关的正则性估计，且不依赖曲率假设。
• 通过构造加权次解，克服赫米蒂安几何中局部势函数与自同构群传递性的缺失。
• 为 $Ω^n$ 中单位球上具有一般赫米蒂安数据的狄利克雷问题，建立解的定量 $Ω^{1,1}$ 正则性界。

提出的方法

• 将贝德福德-泰勒的子问题方法适配至赫米蒂安设置，其中自同构群不具有传递性。
• 为复海森算子构造加权次解 $S = |\nabla^{1,0}h|_{\tilde{g}}^2$，以控制二阶导数。
• 通过 $\tilde{g} = h^{-1} \cdot g$ 的共形度量变换，简化曲率项并分离挠率贡献。
• 为次解 $S$ 推导椭圆不等式 $\tilde{\triangle} S \geq -C_1 S^{3/2} - C_2$，其中 $C_1, C_2$ 依赖于曲率与挠率范数。
• 通过 $O(S^{1/2})$ 与 $O(S)$ 展开估计曲率与挠率项，利用 $\tilde{\nabla}$ 与 $h^{-1} \cdot \tilde{\nabla}^{1,0}h$ 的 $O(S^{1/2})$ 行为。
• 对次解 $S$ 应用最大值原理，获得与区域形状无关的紧子集上一致的 $Ω^{1,1}$ 有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝德福德-泰勒的内部 $C^{2}$ 估计能否推广至度量非闭且挠率非零的赫米蒂安流形？
• RQ2 复蒙日-安培方程在赫米蒂安流形上是否存在类似于凯勒情形下卡拉比结果的局部 $C^{3}$ 估计？
• RQ3 在缺乏局部势函数的情况下，能否在赫米蒂安设置下获得与尺度和平移无关的正则性估计？
• RQ4 挠率与曲率项如何影响非凯勒设置下二阶导数的估计？
• RQ5 在赫米蒂安狄利克雷问题中，$Ω^{1,1}$ 范数对边界数据与右端项的最优依赖关系为何？

主要发现

• 作者在赫米蒂安流形上建立了尺度与平移不变的 $Ω^{1,1}$ 正则性估计，适用于复蒙日-安培方程的解。
• 对于任意紧子集 $B' \subset\subset \mathbb{B}$，解 $u$ 的 $Ω^{1,1}(B')$ 范数由仅依赖于 $\omega$、$\text{dist}(B', \partial\mathbb{B})$、$||\phi||_{\mathcal{C}^{1,1}(\partial\mathbb{B})}$ 与 $||f^{1/n}||_{\mathcal{C}^{1,1}(\mathbb{B})}$ 的常数有界。
• 通过为加权次解 $S$ 推导椭圆不等式 $\tilde{\triangle} S \geq -C_1 S^{3/2} - C_2$，将局部卡拉比 $C^{3}$ 估计推广至赫米蒂安流形。
• 椭圆不等式中的常数 $C_1$ 与 $C_2$ 显式依赖于 $K$、$|d\omega|_\omega$、$|R|_\omega$、$|\nabla R|_\omega$、$|T|_\omega$、$|\nabla T|_\omega$ 以及 $|\nabla^s f|_\omega$（$s=0,1,2,3$）。
• 该方法通过渐近展开成功处理了非闭赫米蒂安度量，利用共形变换控制曲率与挠率项。
• 结果为研究非凯勒与非紧赫米蒂安流形上的复蒙日-安培方程提供了基础正则性框架，具有微分几何与弦理论等应用前景。