[论文解读] Regularity of Kähler-Ricci flow

Gang Tian, Zhenlei Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文建立了紧致 Fano 流形上归一化 Kähler-Ricci 流的正则性定理，表明若 Ricci 曲率的 $L^p$-范数在 $p > n$ 时一致有界，则流的极限在实余维数至少为 4 的闭集外光滑，并收敛到一个收缩型 Kähler-Ricci 孤子。该结果证实了在维度 $n \leq 3$ 时的 Hamilton-Tian 猜想与 Yau-Tian-Donaldson 猜想。关键贡献是在正则性假设下建立部分 $C^0$ 估计，推广了此前对 Kähler-Einstein 度量与孤子的研究。

ABSTRACT

In this short note we announce a regularity theorem for Kähler-Ricci flow on a compact Fano manifold (Kähler manifold with positive first Chern class) and its application to the limiting behavior of Kähler-Ricci flow on Fano 3-manifolds. Moreover, we also present a partial $C^0$ estimate to the Kähler-Ricci flow under the regularity assumption, which extends previous works on Kähler-Einstein metrics and shrinking Kähler-Ricci solitons (cf. \cite{Ti90}, \cite{DoSu12}, \cite{Ti12}, \cite{PSS12}). The detailed proof will appear in \cite{TiZh13}.

研究动机与目标

• 基于 $L^p$-有界 Ricci 曲率，建立 Fano 流形上归一化 Kähler-Ricci 流极限的正则性准则。
• 在 $p > n$ 且 $L^p$ 范数一致有界的条件下，证明极限空间在实余维数 $\geq 4$ 的闭集外光滑。
• 在极限空间满足正则性假设的前提下，将 Kähler-Einstein 度量与收缩孤子的局部 $C^0$ 估计推广至 Kähler-Ricci 流。
• 通过正则性与 $C^0$ 估计结果，证实维度 $n \leq 3$ 时的 Hamilton-Tian 猜想与 Yau-Tian-Donaldson 猜想。
• 证明 Fano 流形的 K-稳定性蕴含低维情形下 Kähler-Einstein 度量的存在性，基于流收敛性与孤子的唯一性。

提出的方法

• 应用 Perelman 的伪局部定理，以及在 $L^p$-有界 Ricci 曲率（$p > n$）与一致局部体积非坍缩条件下流形的正则性理论。
• 利用在完整证明中建立的 Kähler-Ricci 流上 Ricci 曲率的 $L^4$ 有界性（见 [23]），以满足定理 2.1 中的 $L^p$ 条件。
• 通过分析 $K_M^{-l}$ 的全纯截面的 $L^2$-范数，并结合 Perelman 对 Ricci 潜势的 $C^1$ 估计，应用 Moser 迭代，推导出流的部分 $C^0$ 估计。
• 利用 Bochner 与 Weitzenböck 型公式控制 $K_M^{-l}$ 上曲率与联络的梯度与 $L^2$-范数。
• 利用 Cheeger-Colding-Tian 的紧性及其在孤子上的推广，推导出 Sobolev 常数与截面增长的统一有界性。
• 应用 Cheeger-Gromov 拓扑中的收敛性与部分 $C^0$ 估计，将奇点集精化为复子簇，其余维数 $\geq 2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Fano 流形上的归一化 Kähler-Ricci 流在余维数 $\geq 4$ 的奇点集外收敛至光滑 Kähler-Ricci 孤子？
• RQ2 在极限空间满足正则性假设时，Kähler-Einstein 度量的局部 $C^0$ 估计能否推广至 Kähler-Ricci 流？
• RQ3 对 Ricci 曲率的统一 $L^p$-有界性（$p > n$）是否意味着在 Gromov-Hausdorff 拓扑下极限空间的正则性？
• RQ4 极限空间的正则性与低维情形下 Yau-Tian-Donaldson 猜想有何关联？
• RQ5 能否通过 Ricci 曲率的 $L^4$ 有界性与部分 $C^0$ 估计，证实 Fano 3-流形的 Hamilton-Tian 猜想？

主要发现

• 若 $\int_M |\mathrm{Ric}(g(t))|^p \, dv_{g(t)} \leq \Lambda$ 对所有 $p > n$ 及某 $\Lambda < \infty$ 成立，则 Kähler-Ricci 流的极限空间 $M_\infty$ 在实余维数 $\geq 4$ 的闭子集 $\mathcal{S}$ 外光滑。
• 在 $\mathcal{S}$ 外，流以 $C^\infty$ 拓扑收敛至 $M_\infty \setminus \mathcal{S}$ 上的光滑 Kähler-Ricci 孤子 $g_\infty$，从而在低维情形下证实 Hamilton-Tian 猜想。
• 在任意 Fano 流形上，Kähler-Ricci 流上建立了 Ricci 曲率的统一 $L^4$ 有界性，使得正则性定理得以应用。
• 在正则性假设下，对 $l \to \infty$ 的序列，部分 $C^0$ 估计成立，意味着 $M_\infty$ 是具有复余维数 $\geq 2$ 奇点集的正常代数簇。
• 对于维度 $n \leq 3$ 的 Fano 流形，Yau-Tian-Donaldson 猜想已得证实，因为 K-稳定性蕴含 Kähler-Einstein 度量的存在性。
• 在 K-稳定性下，极限空间 $M_\infty$ 与原流形 $M$ 复解析同构，且极限度量 $g_\infty$ 为 Kähler-Einstein，从而在低维情形下解决了该猜想。