[论文解读] Relating the quantum mechanics of discrete systems to standard canonical quantum mechanics

Gerard ’t Hooft|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2012

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 4被引用 7

一句话总结

该论文在整数格点上的离散量子力学（P_i, Q_i）与连续实空间上的标准正则量子力学（q_i, p_i）之间建立了统一映射，表明在该形式下，整数上的谐振子变为确定性系统。关键贡献是一个保持对易关系的正则同构，通过单位圆上的傅里叶型变换，使连续量子动力学可从离散的确定性模型中重构出来。

ABSTRACT

Discrete quantum mechanics is here defined to be a quantum theory of wave functions defined on integers P_i and Q_i, while canonical quantum mechanics is assumed to be based on wave functions on the real numbers, R^n. We study reversible mappings from the position operators q_i and their quantum canonical operators p_i of a canonical theory, onto the discrete, commuting operators Q_i and P_i. In this paper we are particularly interested in harmonic oscillators. In the discrete system, these turn into deterministic models, which is our motivation for this study. We regard the procedure worked out here as a "canonical formalism" for discrete dynamics, and as a stepping stone to handling discrete deterministic systems in a quantum formalism.

研究动机与目标

• 建立离散量子力学在整数变量上的严格数学框架，将其与实变量上的标准正则量子力学联系起来。
• 研究离散格点上的确定性模型如何被嵌入完整的量子力学形式体系中。
• 推导离散算符（P, Q）与连续可观测量（q, p）在谐振子系统中的显式映射表达式。
• 确保在映射下，正则对易关系 [q, p] = i 得到保持，包括对边界态的修正。
• 为将连续量子动力学解释为源自底层离散、确定性动力学奠定基础。

提出的方法

• 使用复指数 ϵ^{iηQ} = e^{2πiηQ} 定义幺正变换，将 Z^{2n} 上的波函数映射到单位圆上（η ∈ (−1/2, 1/2]）。
• 利用离散波函数的傅里叶变换，将连续位置和动量算符 q 和 p 用离散变量 P 和 Q 表示。
• 将动量算符构造为 p = P + a_P，其中 a_P 是由相位函数 ϕ(η_P, η_Q) 导出的类似规范势的修正项。
• 通过围线积分并求和整数贡献 K，推导出矩阵元 ⟨Q₁,P₁|q|Q₂,P₂⟩ 和 ⟨Q₁,P₁|p|Q₂,P₂⟩ 的显式表达式。
• 采用 ϵ = e^{2π} 的归一化方案，简化表达式并消除对易关系中的 2π 因子。
• 通过投影出边界态来强制实现正则对易关系 [q, p] = i，确保与标准量子力学的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在整数变量 P_i, Q_i 上的离散量子理论与实变量 q_i, p_i 上的标准正则量子力学之间建立幺正映射？
• RQ2 如何将离散格点上的谐振子哈密顿量映射到连续量子系统，同时保持动力学不变？
• RQ3 位置和动量算符 q 和 p 在离散整数变量 P 和 Q 中的显式形式是什么？
• RQ4 在离散到连续的映射中，正则对易关系 [q, p] = i 如何被恢复，需要哪些修正？
• RQ5 能否通过此映射将离散变量上的确定性演化嵌入完整的量子形式体系中？

主要发现

• 从离散变量 (P, Q) 到连续可观测量 (q, p) 的映射是幺正的，并且通过单位圆上的傅里叶型变换显式构造。
• q 算符的矩阵元为 ⟨Q₁,P₁|q|Q₂,P₂⟩ = Q₁δ_{Q₁Q₂}δ_{P₁P₂} + (-1)^{P+Q+1} iP / (P² + Q²)，其中 P = P₂−P₁ 且 Q = Q₂−Q₁。
• 类似地，p 算符的矩阵元为 ⟨Q₁,P₁|p|Q₂,P₂⟩ = P₁δ_{Q₁Q₂}δ_{P₁P₂} + (-1)^{P+Q} iQ / (P² + Q²)。
• 对易子 [q, p] 仅在投影出边界态后才得到 i，因为要求 ⟨ψ_edge|ψ⟩ = 0 才能恢复标准对易关系。
• 规范势项 a_Q 和 a_P 源于相位函数 ϕ(η_P, η_Q)，其贡献通过对整数 K 求和而得到完整的算符结构。
• 该形式体系表明，连续量子力学可从离散、确定性动力学通过正则同构中涌现，暗示量子理论具有更深层的离散基础。