[论文解读] Relational mechanics of shape and scale

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 37被引用 18

一句话总结

本文确立了具有尺度的关联粒子力学的配置空间是无尺度配置空间的锥——在一维中为球面，在二维中为复射影空间——从而为研究量子宇宙学中的尺度提供了几何框架。它解决了关联力学中的单极子问题，并通过证明平移和缩放连接在几何上是平坦的，避免了狄拉克单极子障碍，从而扩展了半经典的时间方法。

ABSTRACT

Relational particle mechanics models (RPM's) are useful models for the problem of time in quantum gravity and other foundational issues in quantum cosmology. Some concrete examples of scalefree RPM's have already been studied, but it is the case with scale that is needed for the semiclassical and dilational internal time approaches to the problem of time. In this paper, I show that the scaled RPM's configuration spaces are the cones over the scalefree RPM's configuration spaces, which are spheres in 1-d and complex projective spaces in 2-d for plain shapes, and these quotiented by Z_2 for oriented shapes. I extend the method of physical interpretation by tessellation of the configuration space and the description in terms of geometrical quantities to the cases with scale and/or orientation. I show that there is an absence of monopole issues for RPM's and point out a difference between quantum cosmological operator ordering and that used in molecular physics. I use up RPM's freedom of the form of the potential to more closely parallel various well-known cosmologies, and begin the investigation of the semiclassical approach to the problem of time for such models.

研究动机与目标

• 开发一种包含尺度的关联力学框架，扩展先前关于量子引力与宇宙学中无尺度模型的研究。
• 阐明在存在尺度时配置空间的几何结构，表明其为无尺度空间的锥。
• 通过证明平移和缩放连接是平坦的，从而避免狄拉克单极子奇点，解决关联力学中潜在的单极子问题。
• 通过引入尺度和取向，将半经典时间问题的方法扩展至关联力学，实现内部时间形式化。
• 比较量子宇宙学中的算符排序与分子物理学，突出在量化方案中的基础性差异。

提出的方法

• 使用几何与拓扑方法，推导出带尺度的关联粒子力学（RPM）的配置空间，即无尺度配置空间的锥。
• 应用镶嵌与几何解释技术，以可视化和分析包含尺度与取向的配置空间。
• 使用具有重参数化不变性的雅可比型作用量，实现时间的关联性，确保不引入额外的时间变量。
• 将配置空间建模为相似群（平移、旋转、缩放）作用下的商空间，其中无尺度情况作为基空间。
• 分析平移与缩放的规范连接，表明其场强因梯度形式而消失，暗示几何上的平凡性。
• 比较量子宇宙学与分子物理学中的算符排序，识别出在量化过程中具有不同的物理含义。

实验结果

研究问题

• RQ1 尺度的引入如何改变关联粒子力学的配置空间结构？
• RQ2 带尺度的RPM配置空间的几何性质是什么？它与无尺度空间的锥有何关系？
• RQ3 在RPM模型中，平移与缩放的规范连接是否存在单极子障碍？
• RQ4 如何将半经典时间方法扩展至关联力学，以包含尺度与取向？
• RQ5 在关联模型的背景下，量子宇宙学与分子物理学中的算符排序有何差异？

主要发现

• 带尺度的RPM配置空间是无尺度配置空间的锥，一维配置形成球面，二维配置形成复射影空间。
• 对于有取向的形状，配置空间是这些空间对 ℤ₂ 的商，反映了镜像的等同性。
• 平移与缩放的规范连接是平坦的（场强为零），因为它们源于梯度，从而消除了狄拉克单极子问题。
• RPM中无单极子的现象与标准规范理论形成对比，这是由于配置空间的特定几何结构以及连接的具体形式。
• 通过镶嵌与几何量进行物理解释的方法，成功扩展至包含尺度与取向的模型。
• 本文识别出量子宇宙学与分子物理学在算符排序上的关键差异，提示需要采用不同的量化方案。