[论文解读] Relations between exponential tails, moments and moment generating functions for random variables and vectors

Yuriy Kozachenko, E. Ostrovsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2017

Probability and Risk Models参考文献 23被引用 21

一句话总结

本文建立了实值与向量值随机变量的指数尾部衰减、矩（通过广义勒贝格空间范数）、矩生成函数之间非渐近、双边、精确至常数因子的关系。通过使用 Young-Fenchel 变换与凸分析，证明了指数尾部界、矩增长速率与 MGF 行为在乘法常数范围内相互等价，将经典结果推广至多变量与非渐近情形，并给出了精确的范数估计。

ABSTRACT

We offer in this paper the non-asymptotical pairwise bilateral exact up to multiplicative constants interrelations between exponential decreasing tail behavior, moments (Grand Lebesgue Spaces) norm and moment generating functions norm for random variables and vectors (r.v.).

研究动机与目标

• 建立随机变量与向量的指数尾部行为、矩增长（通过广义勒贝格空间）、矩生成函数范数之间精确、非渐近、双边的相互关系。
• 通过函数范数与凸对偶性，将关于次高斯与次指数尾部的经典结果推广至更广泛的分布类。
• 通过 Young-Fenchel 变换与凸分析，建立尾部衰减、矩增长与 MGF 行为之间的精确等价性（至多乘法常数）。
• 在对底层矩生成函数与尾部行为的假设尽可能弱的前提下，推导向量值随机变量的尖锐范数估计。

提出的方法

• 使用广义勒贝格空间（GLS）范数 $||f||_{G(\rho)} = \sup_{p \in [1,b)} \frac{|f|_p}{\psi(p)}$ 来刻画矩增长速率。
• 应用 Young-Fenchel 变换 $\phi^*(u) = \sup_\lambda (\lambda u - \phi(\lambda))$ 将矩生成函数与尾部行为联系起来。
• 利用 Fenchel-Moraux 定理 ($\phi^{**} = \phi$) 与 Young 不等式，推导矩与尾部之间的对偶估计。
• 通过分部积分与 Laplace 方法对多变量矩生成函数进行矩界推导，结合共轭函数的 Hessian 矩阵的凸性与特征值界。
• 使用变换 $Z(y) = \zeta(e^y)$ 将多变量尾部估计转化为对共轭函数 $Z^*$ 的估计。
• 应用鞍点近似与高斯型尾部界，从矩增长推导指数衰减速率，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非渐近情形下，如何精确（至多乘法常数）建立指数尾部衰减、矩增长与矩生成函数行为之间的关系？
• RQ2 广义勒贝格空间范数与向量值随机变量的尾部或 MGF 范数之间的确切等价关系是什么？
• RQ3 在何种条件下，矩增长速率 $|\xi|_p \leq C \cdot |p| \cdot e^{-\nu(p)/p}$ 蕴含相应的尾部界 $U_\xi(\vec{y}) \leq \exp(-\nu^*(\ln(\vec{y}/C_2))))$？
• RQ4 能否将 MGF、矩与尾部行为之间的等价性推广至具有非对称或非径向分布的多变量随机向量？

主要发现

• 本文证明，对于随机向量 $\vec{\xi}$，在 $\nu(p)$ 的凸性与正则性条件下，矩增长 $|\xi|_p \leq C_3 \exp(Z^*(p)/p)$ 与尾部界 $U_\xi(\vec{y}) \leq \exp(-\nu^*(\ln(\vec{y}/C_2))))$ 在乘法常数范围内等价。
• 证明了当 $\psi(p) = |p| \cdot e^{-\nu(p)/p}$ 时，GLS 范数 $||\xi||_{G(\psi)}$ 有限当且仅当尾部满足 $U_\xi(\vec{y}) \leq \exp(-\nu^*(\ln(\vec{y}/C_2))))$ 对所有 $\vec{y} \geq C_2 \vec{e}$ 成立。
• 对于多变量随机向量，若 MGF 满足 $\mathbb{E}\exp(\lambda \cdot \xi) \leq \exp(C_1 |\lambda|^m)$ 对所有 $|\lambda| \geq 1$，则尾部衰减满足 $U_\xi(x) \leq \exp(-C_2 |x|^{m/(m-1)})$ 对所有满足 $\min_j |x_j| \geq 1$ 的 $x$ 成立。
• 本文表明，矩、尾部与 MGF 行为之间的等价性无需渐近近似，仅通过凸对偶性与鞍点分析即可成立。
• 给出了多变量 Laplace 变换积分的尖锐估计 $J(p) \leq C_7(d,Z)^p \exp(Z^*(p))$，该估计通过 Hessian 矩阵特征值界与高斯近似推导得出。
• 结果被证明严格强于 [39]–[41] 中的先前工作，因其无需渐近或矩匹配假设，且适用于一般向量值随机变量。