[论文解读] Relative cyclotomic spectra and topological cyclic homology via the norm

Vigleik Angeltveit, Andrew J. Blumberg+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用 12

一句话总结

本文利用等变正交谱范畴中的Hill-Hopkins-Ravenel乘法范数，在不依赖Bökstedt的一致性机制的前提下，构建了环谱的拓扑Hochschild同调（THH）上的分圆结构。结果，该研究定义了相对于任意交换环谱A的拓扑循环同调（TC），建立了相对TC与球谱上的TR之间的谱序列，并在等变框架下自然地定义了TR和TC上的Adams算子。

ABSTRACT

We describe a construction of the cyclotomic structure on topological Hochschild homology ($THH$) of a ring spectrum using the Hill-Hopkins-Ravenel multiplicative norm. Our analysis takes place entirely in the category of equivariant orthogonal spectra, avoiding use of the B\okstedt coherence machinery. As a consequence, we are able to define versions of topological cyclic homology ($TC$) relative to an arbitrary commutative ring spectrum $A$. We describe spectral sequences computing this relative theory $_ATR$ in terms of $TR$ over the sphere spectrum and vice versa. Furthermore, our construction permits a straightforward definition of the Adams operations on $TR$ and $TC$.

研究动机与目标

• 在不依赖Bökstedt的一致性机制的前提下，提供THH上分圆结构的新构造。
• 为任意交换环谱A定义相对拓扑循环同调（TC）。
• 建立相对于A的相对TC与球谱上TR之间的谱序列。
• 通过范数构造，在此框架下自然地定义TR和TC上的Adams算子。

提出的方法

• 利用等变正交谱范畴中的Hill-Hopkins-Ravenel乘法范数，构造分圆结构。
• 完全在等变正交谱的框架内进行，避免了对Bökstedt一致性机制的需求。
• 在此等变设定下，将相对TC(A)定义为一个分圆迹映射的纤维。
• 构造谱序列，关联A上的TR和TC与其在球谱上的版本。
• 通过等变结构与范数相容性，应用范数来定义TR和TC上的Adams算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖Bökstedt一致性机制的前提下，构造THH上的分圆结构？
• RQ2 能否在任意交换环谱A上对拓扑循环同调进行有意义的定义？
• RQ3 哪些谱序列关联了相对TC(A)与球谱上的TR？
• RQ4 在此框架下，如何自然地定义TR和TC上的Adams算子？

主要发现

• 通过在等变正交谱中使用乘法范数，成功构建了THH上的分圆结构，避免了Bökstedt的一致性机制。
• 确立了相对于任意交换环谱A的、定义良好的相对拓扑循环同调版本。
• 构造了关联相对TC(A)与球谱上TR的谱序列，反之亦然。
• 通过范数结构自然地定义了TR和TC上的Adams算子，其相容性由等变框架保证。