[论文解读] An Equivariant Tensor Product on Mackey Functors.

Kristen Mazur|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文引入了范数函子，通过基于Mackey函子与Tambara函子内在代数性质的生成元与关系，从循环p-群G的子群H的H-Mackey函자构造G-Mackey函子。该研究在Mackey函子范畴上建立了张量结构，其中Tambara函子作为交换环对象，从而统一了等变同伦论与代数结构。

ABSTRACT

For all subgroups $H$ of a cyclic $p$-group $G$ we define norm functors that build a $G$-Mackey functor from an $H$-Mackey functor. We give an explicit construction of these functors in terms of generators and relations based solely on the intrinsic, algebraic properties of Mackey functors and Tambara functors. We use these norm functors to define a monoidal structure on the category of Mackey functors where Tambara functors are the commutative ring objects.

研究动机与目标

• 为循环p-群G的子群H，定义将H-Mackey函子扩展为G-Mackey函子的范数函子。
• 仅基于Mackey函子与Tambara函子的代数结构，通过生成元与关系显式构造这些函子。
• 在G-Mackey函子范畴上建立张量结构。
• 在该张量范畴中，识别Tambara函子为交换环对象。
• 通过内在代数方法，统一等变代数结构与范畴的张量性质。

提出的方法

• 范数函子通过Mackey函子与Tambara函子内在代数性质导出的生成元与关系构造而成。
• 该构造适用于循环p-群G的所有子群H，确保与群作用相容。
• 利用这些范数函子作为张量积，定义G-Mackey函子范畴上的张量结构。
• 证明张量积满足结合律与单位律，符合对称张量范畴的公理。
• 验证该结构使Tambara函子成为该范畴中的交换环对象。
• 该方法完全避免使用拓扑或同伦论工具，仅依赖代数关系与函子性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从H-Mackey函子构造到循环p-群G的子群H的G-Mackey函子的范数函子？
• RQ2 哪些代数关系足以在不依赖拓扑模型的前提下定义此类范数函子？
• RQ3 能否使用这些范数函子作为张量积，在G-Mackey函子范畴上定义张量结构？
• RQ4 该张量范畴中的哪些对象是交换环对象？
• RQ5 Tambara函子如何自然地成为该构造中交换环对象？

主要发现

• 范数函子为从循环p-群G的所有子群H的H-Mackey函子到G-Mackey函子的提升，提供了一种系统且代数定义的方法。
• 该构造完全内在化，仅依赖于Mackey函子与Tambara函子代数结构导出的生成元与关系。
• 通过将这些范数函子作为张量积，建立了G-Mackey函子范畴上的明确定义的张量结构。
• 在该张量范畴中，识别出Tambara函子为交换环对象。
• 该张量结构与群作用相容，并满足所需的协调性条件。
• 该方法为等变Mackey函子范畴中的张量积提供了纯粹代数基础。