[论文解读] Relative entropy and the Pinsker product formula for sofic groups

Ben Hayes|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用 6

一句话总结

本文利用相对渐近熵与局部/双重经验收敛的概念，建立了索菲克群作用中外部Pinsker因子的乘积公式，将阿贝尔群理论的结果推广至索菲克群。证明了对于索菲克群，乘积作用的外部Pinsker因子等于各单独作用外部Pinsker因子的乘积，并将其应用于证明：当关联算子可逆时，某些模的庞特里亚金对偶上的代数作用具有完全正熵。

ABSTRACT

We continue our study of the outer Pinsker factor for probability measure-preserving actions of sofic groups. Using the notion of doubly quenched convergence developed by Austin, we prove that in many cases the outer Pinsker factor of a product action is the product of the outer Pinsker factors. Our results are parallel to those of Seward for Rohklin entropy. We use these Pinsker products formulas to show that for many actions of a sofic group G on X where X is a compact group and the action is by automorphism, the (measurable) outer Pinsker factor of the action of G on X is given as a quotient by a G-invariant, closed, normal subgroup. We use our results to show that if G is sofic and f in M_{n}(Z(G)) is invertible as a convolution operator, then the action of G on the Pontryagin dual of \Z(G)^{\oplus n}/\Z(G)^{\oplus n}f has completely positive measure-theoretic entropy with respect to the Haar measure. This last application requires our previous work connecting topological entropy in the presence as defined by Li-Liang to measure-theoretic entropy in the presence (implicitly defined by Kerr) for actions on compact groups. In particular, we need our previous formulation of measure-theoretic entropy in the presence in terms of a given topological model.

研究动机与目标

• 将Pinsker因子的乘积公式从阿贝尔群推广至索菲克群，推广Seward及其他人的结果。
• 在适当的收敛条件下，建立索菲克群作用下乘积作用的外部Pinsker因子为各独立外部Pinsker因子的乘积。
• 将乘积公式应用于紧群上的代数作用，证明Pinsker因子可表示为一个闭的、不变的、正规子群的商。
• 证明群环上的可逆卷积算子在庞特里亚金对偶上诱导出具有完全正测度熵的系统。

提出的方法

• 使用Austin引入的局部与双重经验收敛概念，分析索菲克群作用中的熵。
• 应用相对索菲克熵理论，通过微状态逼近比较可观测量及其条件熵的熵。
• 在索菲克设定下应用Abramov-Rokhlin公式，将相对熵与Pinsker因子结构联系起来。
• 利用特定收敛模式下索菲克熵与测度熵的等价性，推导出乘积公式。
• 使用Stirling近似与熵界控制主定理证明中的微状态计数。
• 利用代数作用与模结构之间的对偶性，将熵问题约化为算子可逆性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 索菲克群作用下乘积作用的外部Pinsker因子是否可分解为各独立作用外部Pinsker因子的乘积？
• RQ2 紧群上代数作用的外部Pinsker因子是否可描述为对一个闭的、$G$-不变的、正规子群的商？
• RQ3 在何种条件下，庞特里亚金对偶上的代数作用具有完全正测度熵？
• RQ4 在索菲克设定下，相对索菲克熵在因子映射与条件熵分解下如何表现？

主要发现

• 在局部与双重经验收敛条件下，索菲克群乘积作用的外部Pinsker因子同构于各独立作用外部Pinsker因子的乘积。
• 当索菲克群通过自同构作用于紧群时，其外部Pinsker因子可实现为群的一个闭的、$G$-不变的、正规子群的商。
• 若 $f \in M_n(\mathbb{Z}(G))$ 作为 $\ell^2(G)^{\oplus n}$ 上的卷积算子可逆，则其在 $\mathbb{Z}(G)^{\oplus n}/\mathbb{Z}(G)^{\oplus n}f$ 的庞特里亚金对偶上的作用具有完全正测度熵。
• 相对索菲克熵在阿贝尔情形下与经典测度熵一致，且该乘积公式在该设定下恢复已知结果。
• 条件相对熵 $h_{(\sigma_i),\mu}(\alpha|\beta:\gamma)$ 等于经典相对熵 $h_\mu(\alpha|S_\beta,G)$，建立了微状态熵与测度熵之间的桥梁。