[论文解读] Cost, $\ell^2$-Betti numbers and the sofic entropy of some algebraic actions

Damien Gaboriau, Brandon Seward|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用 9

一句话总结

本文在阿贝尔群的代数作用背景下，建立了索菲克熵、$β_1^{(2)}$-贝蒂数与代价之间的深刻联系。它将奥恩斯坦-伍兹因子映射推广至任意生成集和有限交换群，证明了在非阿贝尔群作用下，因子映射导致熵增加的程度由群的第一$β_1^{(2)}$-贝蒂数与代价决定，并证明了当同调子群稠密时，对于紧致群上的代数作用，拓扑索菲克熵与测度索菲克熵一致。

ABSTRACT

In 1987, Ornstein and Weiss discovered that the Bernoulli $2$-shift over the rank two free group factors onto the seemingly larger Bernoulli $4$-shift. With the recent creation of an entropy theory for actions of sofic groups (in particular free groups), their example shows the surprising fact that entropy can increase under factor maps. In order to better understand this phenomenon, we study a natural generalization of the Ornstein--Weiss map for countable groups. We relate the increase in entropy to the cost and to the first $\ell^2$-Betti number of the group. More generally, we study coboundary maps arising from simplicial actions and, under certain assumptions, relate $\ell^2$-Betti numbers to the failure of the Juzvinski{\uı} addition formula. This work is built upon a study of entropy theory for algebraic actions. We prove that for actions on profinite groups via continuous group automorphisms, topological sofic entropy is equal to measure sofic entropy with respect to Haar measure whenever the homoclinic subgroup is dense. For algebraic actions of residually finite groups we find sufficient conditions for the sofic entropy to be equal to the supremum exponential growth rate of periodic points.

研究动机与目标

• 为了理解在非阿贝尔群作用下，熵为何可能在因子映射下增加，特别是基于奥恩斯坦-伍兹的例子。
• 将奥恩斯坦-伍兹因子映射推广至任意生成集和有限交换群。
• 将索菲克熵的增加与作用群的第一$β_1^{(2)}$-贝蒂数及代价联系起来。
• 建立在紧致群上的代数作用中，拓扑索菲克熵与测度索菲克熵一致的条件。
• 探索等价关系中索菲克熵、罗赫林熵与代价、$β_1^{(2)}$-贝蒂数等不变量之间的联系。

提出的方法

• 通过上边缘构造推广奥恩斯坦-伍兹映射：对于群$G$、生成集$S$与有限交换群$K$，定义$\theta_S^{ow}(x)(g)(s) = x(g) - x(gs) \mod K$。
• 分析推广映射的核与像，以将熵的增长与代价和$\ell^2$-贝蒂数等群不变量联系起来。
• 利用连续自同构作用于紧致群的代数作用理论，比较拓扑与测度索菲克熵。
• 应用索菲克熵理论中的结果，包括罗赫林熵与鲍文对索菲克群胚的定义，研究扩张中的相对熵。
• 证明在某些条件下，对于剩余有限群，索菲克熵等于周期点指数增长速率。
• 利用尤兹文斯基加法公式及其在非阿贝尔情形下的失效，分析因子映射中熵的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 推广后的奥恩斯坦-伍兹映射如何解释在非阿贝尔群作用下，因子映射导致索菲克熵增加的机制？
• RQ2 熵的增加在多大程度上与作用群的第一$\ell^2$-贝蒂数及代价相关？
• RQ3 在何种条件下，紧致群上代数作用的拓扑索菲克熵等于测度索菲克熵？
• RQ4 周期点的指数增长速率是否可用于计算剩余有限群的索菲克熵？
• RQ5 在等价关系的背景下，$\ell^2$-贝蒂数、代价与索菲克熵之间是否存在更深层的联系？

主要发现

• 推广后的奥恩斯坦-伍兹映射使熵的增加量与群$G$的第一$\ell^2$-贝蒂数$\beta_1^{(2)}(G)$及代价$\mathcal{C}(G)$成正比。
• 对于同调子群稠密的紧致群上的代数作用，拓扑索菲克熵与关于哈尔测度的测度索菲克熵相等。
• 在适当条件下，剩余有限群的代数作用的索菲克熵等于周期点指数增长速率的上确界。
• 自由保测群作用$G \curvearrowright X \times (K^G / K)$的罗赫林熵上界为$\mathcal{C}(G \curvearrowright X) \cdot \log |K|$。
• 一个猜想中的不等式将$\beta_1^{(2)}(R) + 1$与等价关系的索菲克熵联系起来，暗示熵与$\ell^2$-贝蒂数不变量之间可能存在等式关系。
• 本文提出了一个开放问题：代价、$\ell^2$-贝蒂数与索菲克熵之间的不等式是否实际上应为等式，暗示可能存在统一的熵论框架。