[论文解读] Remarks on 1-D Euler Equations with Time-Decayed Damping

Xinghong Pan|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文研究了具有时间衰减阻尼 $\mu/(1+t)$ 的一维等熵欧拉方程，证明当 $\mu > 2$ 时，通过时间加权能量估计可得全局光滑解存在；而当 $0 \leq \mu \leq 2$ 时，在合适的初值条件下解会在有限时间内爆破。临界阈值 $\mu = 2$ 将全局存在性与有限时间爆破分离开来。

ABSTRACT

We study the 1-d isentropic Euler equations with time-decayed damping \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &\partial_t ρ+\partial_x(ρu)=0, \\ &\partial_t(ρu)+ \partial_x(ρu^2)+\partial_xp(ρ)=-\fracμ{1+t}ρu,\\ &ρ|_{t=0}=1+\varepsilonρ_0(x),u|_{t=0}=\varepsilon u_0(x). \end{aligned} ight. onumber \end{equation} This work is inspired by a recent work of F. Hou, I. Witt and H.C. Yin \cite{Hou01}. In \cite{Hou01}, they proved a global existence and blow-up result of 3-d irrotational Euler flow with time-dependent damping. In the 1-d case, we will prove a different result when the damping decays of order $-1$ with respect to the time $t$. More precisely, when $μ>2$, we prove the global existence of the 1-d Euler system. While when $0\leqμ\leq2 $, we will prove the blow up of $C^1$ solutions.

研究动机与目标

• 确定在一维可压缩欧拉方程中，具有时间衰减阻尼时，将全局存在性与有限时间爆破分离开来的临界阻尼强度 $\mu$。
• 将近期关于三维时间衰减阻尼的结果推广至一维情形，其中临界阈值有所不同。
• 分析在小初值和时间衰减阻尼下解的长期行为。
• 通过改进的能量方法与测试函数分析，建立导致爆破的初值条件的精确刻画。

提出的方法

• 采用源自 Wang 和 Yang (2009) 的时间加权能量估计框架，以控制时间衰减阻尼下索伯列夫范数的增长。
• 引入一个修正的能量泛函 $F(t)$，包含 $\rho - 1$ 和 $u$ 的 $L^2$-范数，并以 $(1+t)^2$ 加权，以捕捉衰减与增长行为。
• 采用受 Sideris (1985) 启发的测试函数方法，并将其适配至一维阻尼欧拉方程，以推导出 $F(t)$ 的微分不等式。
• 通过分部积分与 Gronwall 类型估计，证明 $F(t)$ 的增长速度快于任意多项式，从而在 $\mu \leq 2$ 时导致有限时间爆破。
• 利用泰勒展开与杨不等式控制能量估计中的非线性压强项 $p(\rho) = \frac{1}{\gamma}\rho^\gamma$。
• 推导出大 $t$ 时的微分不等式 $F''(t) \geq C\varepsilon^2 B_0^2 (t+1)^{-2} \ln(t+1) F(t)$，通过积分与指数下界估计实现有限时间爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维欧拉方程中，具有时间衰减阻尼 $\mu/(1+t)$ 时，将全局存在性与有限时间爆破分离开来的临界 $\mu$ 值是多少？
• RQ2 时间衰减率为 $-1$ 的阻尼如何影响光滑解的长期行为，相较于恒定阻尼？
• RQ3 三维欧拉方程中时间衰减阻尼的爆破机制能否适配至一维情形，并在相似初值条件下适用？
• RQ4 初值的空间紧支集以及 $q^0(r)$ 和 $q^1(r)$ 的符号在决定解寿命方面起什么作用？
• RQ5 压强律 $p(\rho) = \frac{1}{\gamma}\rho^\gamma$ 中 $\gamma$ 的选择如何影响爆破或全局存在性结果？

主要发现

• 当 $\mu > 2$ 时，本文证明了在 $H^m(\mathbb{R})$（$m \geq 3$）中存在经典解，且时间加权能量范数被有界于 $C\varepsilon^2(\|\rho_0\|_m^2 + \|u_0\|_m^2)$。
• 当 $0 \leq \mu \leq 2$ 时，在 $q^0(r) > 0$ 且 $q^1(r) \geq 0$ 对于 $R_0 < r < R$ 的条件下，$C^1$ 解的寿命 $T_\varepsilon$ 是有限的。
• 爆破通过微分不等式 $F''(t) \geq C\varepsilon^2 B_0^2 (t+1)^{-2} \ln(t+1) F(t)$ 证明，导致大 $t$ 时 $F(t) \geq C\varepsilon^2 B_0^2 (t+1)^8$，从而表明有限时间爆破。
• 寿命的上界满足 $T_\varepsilon \leq C e^{C / (\varepsilon^2 B_0^2)}$，其中 $B_0 = \int_R^\infty (x-R)^2 \rho_0(x) dx > 0$，表明当 $\varepsilon$ 较小时爆破极为迅速。
• 临界阈值 $\mu = 2$ 将两种情形分离开来：$\mu > 2$ 时为全局存在，$\mu \leq 2$ 时为有限时间爆破，这与三维情形中阈值不同形成对比。
• 该方法对压强律中一般 $\gamma > 1$ 具有鲁棒性，如通过使用 $\varphi_\gamma(\rho)$ 控制能量估计中的非线性项所示。