[論文レビュー] Remarks on Liouville theory with boundary

J. Teschner|ArXiv.org|Sep 18, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 123

ひとこと要約

本稿では、共形不変境界条件を伴うリウヴィル場理論のブートストラッププログラムを開発し、一般化されたカーディ条件を用いて境界構造関数を導出し、それらを $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ の b-ラハ・ワイナー記号と関連付ける。主な結果は、境界三点関数と量子群の6j記号の間の正確な対応であり、これは有理的CFTブートストラップ法の非コンパクト版を提供するとともに、反射振幅とプランシュレル測度を用いて連続スペクトルへのカーディ公式の拡張を実現する。

ABSTRACT

The bootstrap for Liouville theory with conformally invariant boundary conditions will be discussed. After reviewing some results on one- and boundary two-point functions we discuss some analogue of the Cardy condition linking these data. This allows to determine the spectrum of the theory on the strip, and illustrates in what respects the bootstrap for noncompact conformal field theories with boundary is richer than in RCFT. We briefly indicate some connections with $U_q(sl(2,R))$ that should help completing the bootstrap.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな共形場理論に境界を伴うブートストラッププログラムを拡張すること、特にリウヴィル理論をモデルとして焦点を当てる。
• ストリップ上での境界条件を伴うリウヴィル理論のスピン（一一点、二点、三一点関数）のスペクトルと構造関数を導出すること。
• $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ の表現論的データと境界構造関数の間の対応を確立すること。
• 有理的CFTにおける一一点関数のカーディ公式を、非コンパクトCFTの連続スペクトルへ一般化すること。
• 特に反射振幅とモジュラーデータの観点から、有理的CFTと比較して非コンパクトCFTにおけるブートストラップのより豊かな構造を明確にすること。

提案手法

• 境界パラメータ $\rho_1, \rho_2$ でパrameter化された $\mathbb{S}^B$ に倣う連続表現 $\mathcal{V}_\alpha$ の積分として、ストリップ上の理論のヒルベルト空間を構成する。
• 共形ウォード恒等式と因子分解を用いて、相関関数を基本的構造関数（三一点関数 $D$、一一点関数 $A(\alpha|\rho)$、境界二点関数 $N_0$、ボリューム-境界二点関数 $A(\alpha,\beta|\rho)$）に還元する。
• 一一点関数と境界二点関数を反射振幅 $R(\alpha)$ とプランシュレル測度 $\mu(\alpha)$ を介して結ぶ一般化されたカーディ条件を課す。
• 境界三一点関数 $C[\beta_3,\beta_2,\beta_1]^{s_3,s_2,s_1}$ を $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ の b-ラハ・ワイナー記号に比例する形で導出し、クリーブシュ・ゴルダン係数を用いて正規化を調整する。
• 退化表現 $\mathcal{V}_{-b}$ の解析により正規化を固定し、三一点関数の有限差分方程式を導出する。
• 一一点関数を $A(\alpha|s) = e^{i\delta(\alpha)} S(\alpha;s)/\sqrt{\mu(\alpha)}$ と再表現する。ここで $S(\alpha;s)$ はモジュラー S行列、$\mu(\alpha)$ は量子群の双対のプランシュレル測度であり、カーディ公式を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を伴う非コンパクトCFTにブートストラッププログラムをどのように拡張できるか、特にリウヴィル理論の文脈において。
• RQ2 境界構造関数と $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ のような量子群の表現論的データとの間の正確な関係は何か。
• RQ3 非コンパクトCFTにおける一般化されたカーディ条件は、有理的CFTにおける標準的カーディ公式とどのように異なるか。
• RQ4 b-ラハ・ワイナー記号は、境界相関関数の結合的・整合性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 境界が存在する場合、一一点関数はモジュラーS行列とプランシュレル測度を用いてどのように表現できるか。これは有理的CFTのケースを一般化するものである。

主な発見

• 境界三一点関数が $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}))$ の b-ラハ・ワイナー記号 $\{\cdots\}'_b$ に比例することが示され、標準的定義からの正規化シフトが生じる。
• 境界三一点関数の結合的性質は、b-ラハ・ワイナー記号が満たす五角形恒等式によって保証される。
• 一一点関数は $A(\alpha|s) = e^{i\delta(\alpha)} S(\alpha;s)/\sqrt{\mu(\alpha)}$ と表現され、ここで $e^{2i\delta(\alpha)} = R(\alpha)$ はボリューム反射振幅、$\mu(\alpha)$ は量子群双対のプランシュレル測度である。
• 一般化されたカーディ公式 (11) は、有理的CFTの一一点関数公式を非コンパクトCFTへ自然に拡張するものであり、量子次元の代わりに反射振幅が用いられる。
• 非コンパクトCFTにおけるブートストラップは、RCFTよりも豊かである：反射振幅は直接的にモジュラーS行列係数に関係しないし、スペクトルは連続的である。
• 境界場の正規化は、退化表現 $\mathcal{V}_{-b}$ の解析により固定され、三一点関数を制約する有限差分方程式が導かれる。