[论文解读] Renewal Theory and Geometric Infinite Divisibility

E Sandhya, R. N. Pillai|ArXiv.org|Nov 9, 2003

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文研究了在更新过程及其叠加过程中的几何无限可分性的作用，建立了几何无限可分性与更新方程之间的理论联系。研究证明，几何无限可分分布自然地出现在独立更新过程叠加的极限中，为具有无 memory 间隔时间的随机系统提供了一类新模型。

ABSTRACT

The role of geometrically infinitely divisible laws in renewal equations and superposition of renewal processes are explored here. Some examples are also discussed.

研究动机与目标

• 考察几何无限可分性在更新过程中的理论作用。
• 通过几何无限可分性的视角分析独立更新过程的叠加。
• 建立更新方程与几何无限可分分布之间的联系。
• 提供说明性实例，展示几何无限可分性在随机建模中的适用性。

提出的方法

• 采用几何无限可分性的框架，其中分布相对于几何复合具有无限可分性。
• 应用更新理论来建模由几何无限可分分布决定的到达间隔时间的点过程。
• 利用特征函数和拉普拉斯变换分析更新过程叠加的收敛性。
• 推导出叠加更新过程极限分布为几何无限可分的条件。
• 依赖于Sandhya（1991）的博士论文结果，并建立在无限可分性领域的基础工作之上。
• 通过文献中的说明性实例以及1989年全国概率与统计研讨会的实例验证理论发现。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何无限可分性在更新过程中如何体现？
• RQ2 当到达间隔时间为几何无限可分时，独立更新过程叠加的极限行为是什么？
• RQ3 能否使用几何无限可分分布作为解来求解更新方程？
• RQ4 一个分布既是几何无限可分的又是更新方程解的必要且充分条件是什么？
• RQ5 几何无限可分性的实例如何在实际随机建模中说明理论框架？

主要发现

• 几何无限可分性为建模独立更新过程叠加的极限行为提供了一个自然的分布类。
• 本文证明，在较弱的正则性条件下，此类叠加的极限分布是几何无限可分的。
• 具有几何无限可分更新测度的更新方程，其解继承了无限可分性性质。
• 几何无限可分分布的特征函数满足与更新方程相关的函数方程。
• 本文中的实例表明，如几何稳定分布和某些复合几何分布是更新方程的解。
• 该研究证实，几何无限可分性将经典无限可分理论扩展到了离散时间与几何复合框架。