[论文解读] Renormalization of Feynman amplitudes on manifolds by spectral zeta regularization and blow-ups

Nguyen Viet Dang, Zhang, Bin|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2017

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 44被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在黎曼流形上对费曼振幅进行谱 zeta 正则化的办法，利用多个复参数和爆破方法来解析化热核乘积中的奇点。研究证明，谱正则化振幅可延拓为具有线性极点的亚纯芽，并构建了满足弯曲时空量子场论中一致性条件的重整化映射。

ABSTRACT

Our goal in this paper is to present a generalization of the spectral zeta regularization for general Feynman amplitudes. Our method uses complex powers of elliptic operators but involves several complex parameters in the spirit of the analytic renormalization by Speer, to build mathematical foundations for the renormalization of perturbative interacting quantum field theories. Our main result shows that spectrally regularized Feynman amplitudes admit an analytic continuation as meromorphic germs with linear poles in the sense of the works of Guo-Paycha and the second author. We also give an explicit determination of the affine hyperplanes supporting the poles. Our proof relies on suitable resolution of singularities of products of heat kernels to make them smooth. As an application of the analytic continuation result, we use a universal projection from meromorphic germs with linear poles on holomorphic germs to construct renormalization maps which subtract singularities of Feynman amplitudes of Euclidean fields. Our renormalization maps are shown to satisfy consistency conditions previously introduced in the work of Nikolov-Todorov-Stora in the case of flat space-times.

研究动机与目标

• 将谱 zeta 正则化方法推广至非平直时空中的紧黎曼流形上的费曼振幅。
• 通过使用多个复参数的解析正则化方法，解决弯曲流形上微扰量子场论中费曼振幅的发散问题。
• 构建一个满足尼古洛夫–托多罗夫–斯托拉所提出的弯曲背景中一致性条件的数学重整化框架。
• 通过奇点解析方法显式确定支持正则化振幅极点的仿射超平面。
• 建立从具有线性极点的亚纯芽到全纯芽的普遍投影，从而在振幅中实现奇点的减除。

提出的方法

• 利用椭圆微分 operator（如薛定谔算子）的复幂，定义具有多个复参数的多重谱 zeta 函数。
• 通过度量图的生成树实现奇点解析，以消除参数空间中热核乘积的奇点。
• 通过变量替换和分部积分技术控制分布阶数，并分解亚纯延拓中的极点。
• 利用局部法坐标近似黎曼距离，并分析对角线附近的奇点行为。
• 应用从具有线性极点的亚纯芽到全纯芽的普遍投影，以定义重整化映射。
• 依赖于顾有乐–佩奇亚以及第二作者所发展的具有线性极点的亚纯芽理论，以确保数学上的严谨性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将谱 zeta 正则化方法推广至具有非平凡几何结构的紧黎曼流形上的费曼振幅？
• RQ2 谱正则化振幅的解析延拓中奇点（极点）的结构是什么？
• RQ3 如何系统性地减除费曼振幅中的奇点，以获得有限的重整化值？
• RQ4 爆破与生成树在参数空间中解析热核乘积奇点的过程中起什么作用？
• RQ5 所构造的重整化映射是否满足弯曲时空中的尼古洛夫–托多罗夫–斯托拉一致性条件？

主要发现

• 谱正则化费曼振幅在多个复参数下可延拓为具有线性极点的亚纯芽。
• 极点位于显式确定的仿射超平面上，其位置由流形的几何结构和费曼图的结构共同决定。
• 通过爆破和度量图的生成树方法解析了热核乘积中的奇点，从而实现了光滑积分。
• 通过普遍投影构造的重整化映射满足弯曲时空中的尼古洛夫–托多罗夫–斯托拉一致性条件。
• 通过分部积分和法坐标中的泰勒展开，控制了正则化振幅的分布阶数。
• 对角线附近的主导奇点由黎曼度量决定，距离函数的二阶泰勒展开项给出 $ g_{ u au}(v)h^ u h^ au $。