[论文解读] Repeated patterns in proper colourings

David Conlon, Mykhaylo Tyomkyn|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文研究了在完全图 $K_n$ 的正常边染色中，为避免出现 $k$ 个顶点不相交、颜色同构的固定图 $H$ 的重复副本，所需的最少颜色数。通过组合方法、概率方法和代数方法——包括 Bukh 的随机代数方法的变体——本文建立了 $f_k(n,H)$ 的紧致界，表明对于具有 $m$ 条边的树 $T$，当 $k \geq 3$ 时，$f_k(n,T) = \Theta(n^{(m+1)/m})$；对于非二分图 $H$，有 $f_2(n,H) \leq n+1$；而对于含环的二分图 $H$，存在某个 $k$ 使得 $f_k(n,H) = O(n)$。主要贡献在于基于 $H$ 的结构对 $f_k(n,H)$ 进行了类似三分法的分类，特别区分了森林、含环的二分图和非二分图。

ABSTRACT

For a fixed graph $H$, what is the smallest number of colours $C$ such that there is a proper edge-colouring of the complete graph $K_n$ with $C$ colours containing no two vertex-disjoint colour-isomorphic copies, or repeats, of $H$? We study this function and its generalisation to more than two copies using a variety of combinatorial, probabilistic and algebraic techniques. For example, we show that for any tree $T$ there exists a constant $c$ such that any proper edge-colouring of $K_n$ with at most $c n^2$ colours contains two repeats of $T$, while there are colourings with at most $c' n^{3/2}$ colours for some absolute constant $c'$ containing no three repeats of any tree with at least two edges. We also show that for any graph $H$ containing a cycle there exist $k$ and $c$ such that there is a proper edge-colouring of $K_n$ with at most $c n$ colours containing no $k$ repeats of $H$, while, for a tree $T$ with $m$ edges, a colouring with $o(n^{(m+1)/m})$ colours contains $ω(1)$ repeats of $T$.

研究动机与目标

• 确定在 $K_n$ 的正常边染色中，避免出现 $k$ 个顶点不相交、颜色同构的固定图 $H$ 的副本时，所需的最少颜色数 $C$，记为 $f_k(n,H)$。
• 基于 $H$ 的结构对 $f_k(n,H)$ 的增长速率进行分类，特别区分森林、含环的二分图和非二分图。
• 将已知的极值结果扩展到重复颜色同构子图的设定，特别是在彩虹模式占核心地位的正常边染色中。
• 解决关于特定图族（如偶环和完全图的 1-细分）的 $f_k(n,H)$ 极值行为的开放问题。
• 探索与广义拉姆齐理论及超图推广的联系，特别是在结构化染色中避免重复模式的背景下。

提出的方法

• 将 $f_k(n,H)$ 定义为在 $K_n$ 的正常边染色中，不包含 $k$ 个顶点不相交、颜色同构的 $H$ 副本时所需的最少颜色数。
• 应用抽屉原理和极值图论推导下界，尤其针对 $H$ 为森林或边密度较高的情况。
• 使用 Bukh 的随机代数方法的变体，证明对于任意包含环的图 $H$，存在某个 $k$ 使得 $f_k(n,H) = O(n)$。
• 通过组合构造（如 1-因子分解和路径系）建立树 $T$ 上 $f_k(n,T)$ 的上界。
• 应用极值结果（如 Gustavsson 定理和图论中的图论型 Turán 界限）分析 $f_k(n,H)$ 的渐近增长。
• 通过边数和顶点数分析 $H$ 的结构，特别是当 $e(H) \geq 2|H| - 2$ 或 $e(H) \geq \frac{3}{2}|H| - 3$ 时，推导渐近阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在最少颜色数 $C$，使得任意 $K_n$ 的 $C$ 种颜色的正常边染色中，必然包含至少 $k$ 个顶点不相交、颜色同构的固定图 $H$ 的副本？
• RQ2 函数 $f_k(n,H)$ 的增长速率如何依赖于 $H$ 的结构，特别是 $H$ 是森林、含环的二分图，还是非二分图？
• RQ3 能否将 $f_2(n,C_4) = O(n^{3/2})$ 的界改进为 $O(n)$？$f_2(n,C_6)$ 的正确指数是多少？
• RQ4 对于具有 $m$ 条边的树 $T$，是否对所有 $k \geq 3$ 都有 $f_k(n,T) = \Theta(n^{(m+1)/m})$？该界能否在特定 $k$ 下进一步收紧？
• RQ5 对于长偶环 $C_{2m}$（$m \to \infty$），是否对任意 $\varepsilon > 0$ 都有 $f_2(n,H) = \Omega(n^{2-\varepsilon})$？

主要发现

• 对于任意具有 $m$ 条边的树 $T$ 且 $k \geq 3$，有 $f_k(n,T) = \Omega(n^{(m+1)/m})$，且存在某个 $k'$ 使得 $f_{k'}(n,T) = O(n^{(m+1)/m})$，因此当 $k \geq 3$ 时，$f_k(n,T) = \Theta(n^{(m+1)/m})$。
• 对于至少有两条边的任意树 $T$，有 $f_3(n,T) = \Theta(n^{3/2})$，表明在 $k=3$ 处存在一个尖锐的阈值。
• 对于任意包含环的图 $H$，存在某个 $k$ 使得 $f_k(n,H) = O(n)$，表明在存在环的情况下，可通过线性染色避免重复副本。
• 对于非二分图 $H$，有 $f_2(n,H) \leq n+1$；当 $n$ 为奇数时，$f_2(n,H) = n$，表明在小规模染色中，两个副本是不可避免的。
• 对于满足 $e(H) \geq 2|H| - 2$ 的二分图 $H$，有 $f_2(n,H) = \Theta(n)$，表明此类图可在线性染色中被避免。
• 对于偶环，有 $f_2(n,C_4) = O(n^{3/2})$，且若 $f_2(n,C_6) = \Theta(n^\alpha)$，则 $4/3 \leq \alpha \leq 5/3$，暗示其指数具有非平凡性。