[论文解读] Reversible addition circuit using one ancillary bit with application to quantum computing

Phillip Kaye|ArXiv.org|Aug 28, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 24

一句话总结

本文提出了一种可逆的量子加法电路，该电路仅使用一个辅助量子比特和 O(n³) 个 Toffoli 门，即可实现对两个 n 位数的原地加法。该方法基于经典可逆逻辑的受控递增电路，避免了对量子傅里叶变换或高精度旋转门的需求，从而实现了在极低量子比特开销下高效的量子算术运算。

ABSTRACT

Most of the work on implementing arithmetic on a quantum computer has borrowed from results in classical reversible computing (e.g. [VBE95], [BBF02], [DKR04]). These quantum networks are inherently classical, as they can be implemented with only the Toffoli gate. Draper [D00] has proposed an inherently "quantum" network for addition based on the quantum Fourier transform. His approach has the advantage that it requires no carry qubits (the previous approaches required O(n) carry qubits). The network in [D00] uses quantum rotation gates, which must either be implemented with exponential precision, or else be approximated. In this paper I give a network of O(n^3) Toffoli gates for reversibly performing in-place addition with only a single ancillary bit, demonstrating that inherently quantum techniques are not required to achieve this goal (provided we are willing to sacrifice quadratic circuit depth). After posting the original version of this note it was pointed out to me by C. Zalka that essentially the same technique for addition was used in [BCD+96]. The scenario in that paper was different, but it is clear how the technique they described generalizes to that in this paper.

研究动机与目标

• 设计一种可逆的量子加法电路，以最小化辅助量子比特的使用，解决量子计算中量子比特资源成本过高的问题。
• 证明固有的量子技术（如量子傅里叶变换）并非实现低辅助量子比特加法的必要手段。
• 仅使用单个辅助位，实现对两个 n 位数模 2ⁿ 的原地加法。
• 提供一种基于 Toffoli 门的经典可逆电路，可直接在量子网络中实现。
• 证明 O(n³) 的电路深度是实现在量子算术中最小化量子比特使用量的可行权衡。

提出的方法

• 该电路使用一系列受控递增操作，其中每个递增操作都由加数 a 的某一位条件控制。
• 每个受控递增通过一系列受控 CNOT 门实现，包括用于处理进位标志的零控制 CNOT 门。
• 单个辅助量子比特用作进位标志，当递增过程中发生从 0 到 1 的位翻转时发出信号，从而终止进位传播。
• 通过在递增电路的每个门上添加控制量子比特，构建受控递增操作，确保该操作仅在 a 的特定位为 1 时执行。
• 该电路结构源自经典可逆递增电路，经调整后可对加数的所有位实现条件应用。
• 最终的加法电路按从最高有效位到最低有效位的顺序应用受控递增，确保模 2ⁿ 加法的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用一个辅助量子比特和经典可逆逻辑，实现对两个 n 位数的原地加法？
• RQ2 是否可能在量子加法电路中避免使用量子傅里叶变换或高精度旋转门？
• RQ3 仅使用一个辅助量子比特的可逆加法电路的电路深度和门数是多少？
• RQ4 [BCD+96] 中用于经典可逆计算的技术能否推广到具有最小辅助量子比特的量子加法？
• RQ5 基于 Toffoli 门的电路是否能实现模 2ⁿ 加法，具有 O(n³) 的深度和单个辅助量子比特，同时保持完全可逆？

主要发现

• 所提出的加法电路仅使用一个辅助量子比特，与先前需要 O(n) 个辅助量子比特的方法相比，显著降低了量子比特资源需求。
• 电路深度为 O(n³)，具体上限为 (2/3)n³ + (3/2)n² - (25/6)n + 8（当 n ≥ 3 时），这是为实现最小辅助量子比特使用量所付出的合理权衡。
• 该电路仅由 Toffoli、CNOT 和 NOT 门构成，具有经典可逆性，可直接在量子电路中实现。
• 该方法避免了对量子旋转门或高精度实现的需求，而这些在物理量子系统中存在实现困难。
• 该方法推广了 [BCD+96] 中的技术，证实相同逻辑可被适配用于具有最小辅助量子比特的量子算术。
• 计算完成后，辅助量子比特的最终状态为 1，可被重复使用，从而支持模运算和迭代型量子算法。