[论文解读] Addition on a Quantum Computer

Thomas G. Draper|ArXiv.org|Aug 7, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 196

一句话总结

本文提出了一种新颖的量子加法算法，利用量子傅里叶变换（QFT）在无需临时进位量子比特的情况下，于量子计算机上实现两个数的加法，将量子比特开销从3n减少至2n。通过将输入态经QFT变换，对第二个操作数条件性应用相位旋转，并反向执行变换，该方法实现了高效且可并行化的加法，且在并行执行下具备潜在的对数时间复杂度。

ABSTRACT

A new method for computing sums on a quantum computer is introduced. This technique uses the quantum Fourier transform and reduces the number of qubits necessary for addition by removing the need for temporary carry bits. This approach also allows the addition of a classical number to a quantum superposition without encoding the classical number in the quantum register. This method also allows for massive parallelization in its execution.

研究动机与目标

• 开发一种量子加法算法，避免使用经典启发式可逆加法器所需的临时进位量子比特。
• 实现在不将经典数编码进量子寄存器的情况下，将经典数加到量子叠加态上。
• 通过消除中间进位存储，将量子加法所需的总量子比特数从3n减少至2n。
• 利用QFT的结构特性，实现门操作的大量并行化，提升运行时间的可扩展性。
• 通过最小化量子比特开销，为更高效的量子算法（如Shor因数分解算法）实现提供基础。

提出的方法

• 该方法对第一个输入数|a⟩应用量子傅里叶变换（QFT），将其转换为依赖于a的二进制数位的相位因子的叠加态。
• 利用第二个数b，对变换后态的每个量子比特条件性地应用相位旋转（R_k门），从而在QFT基下实现对a加b的操作。
• 每个旋转R_k由b的一个量子比特控制，并对目标量子比特施加相位移e(1/2^k)，累积效应是在QFT域中实现a加b。
• 在相位旋转之后，应用逆QFT以在计算基下恢复态|a+b⟩。
• 该算法的门操作可交换，因此可并行执行：相同深度的所有旋转可同时执行，使运行时间在充分并行化下降至O(log n)。
• 通过使用近似QFT（AQFT）进一步优化性能，舍弃低于阈值的旋转，保持精度的同时减少门数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不使用临时进位量子比特实现量子加法，从而将总量子比特数减少至3n以下？
• RQ2 如何利用量子傅里叶变换以根本区别于经典可逆加法的方式实现加法？
• RQ3 通过重新排序或分组门操作，可在多大程度上在量子加法中利用并行性？
• RQ4 使用近似QFT（AQFT）对量子加法的精度和效率有何影响？
• RQ5 该方法如何提升大规模量子算法（如Shor因数分解）的量子比特效率？

主要发现

• 所提出的量子加法算法通过消除对临时进位量子比特的需求，将所需量子比特数从3n减少至2n。
• 该方法可在不将经典数编码进量子寄存器的情况下，实现经典数与量子叠加态的加法。
• 该算法的门操作可交换，允许所有相同深度的旋转并行执行，使运行时间在最优并行化下降至O(n+1)或O(log n)。
• 使用近似QFT（AQFT）后，操作数可减少至O(n log n)，且对实际应用而言误差可忽略不计。
• 该方法使Shor因数分解算法可仅用2n个量子比特实现，而非原先的3n，显著降低了资源开销。
• 该方法在渐近门复杂度上与经典方法保持一致（O(n³)），但实现了更优的量子比特效率，尤其在近场量子硬件中具有显著优势。