[论文解读] Ricci flow on Orbifold

Bing Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 50被引用 8

一句话总结

本文建立了具有有限奇点的紧致轨道丛上里奇流的基础理论，证明了佩雷尔曼的伪局部性定理以及轨道丛里奇流的弱紧致性定理。利用这些结果，本文表明在某些法诺轨道丛上——例如具有一个普通双重点的三次曲面，或具有 $\mathbb{A}_k$ 奇点的度数为 1 的法诺轨道丛（$k \leq 6$）——凯勒-里奇流收敛于凯勒-爱因斯坦度量，从而通过流的方法证明了此类度量的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we study the behavior of Ricci flows on compact orbifolds with finite singularities. We show that Perelman's pseudolocality theorem also holds on orbifold Ricci flow. Using this property, we obtain a weak compactness theorem of Ricci flows on orbifolds under some natural technical conditions. This generalizes the corresponding theorem on manifolds. As an application, we can use Kähler Ricci flow to find new Kähler Einstein metrics on some orbifold Fano surfaces. For example, if $Y$ is a cubic surface with only one ordinary double point or $Y$ is an orbifold Fano surface with degree 1 and every singularity on it is a rational double point of type $\A_k (1 \leq k \leq 6)$, then we can find a KE metric of $Y$ by running Kähler Ricci flow.

研究动机与目标

• 将佩雷尔曼的里奇流理论推广至具有有限奇点的紧致轨道丛。
• 在自然的技术条件下，为轨道丛里奇流建立伪局部性定理与弱紧致性定理。
• 将这些结果应用于法诺轨道丛上的凯勒-里奇流，以证明凯勒-爱因斯坦度量的存在性。
• 将基于流的卡拉比猜想证明方法推广至具有杜瓦尔奇点的法诺轨道丛。
• 为特定轨道丛法诺曲面提供一种构造性方法，通过凯勒-里奇流寻找凯勒-爱因斯坦度量。

提出的方法

• 通过采用相同的泛函与缩减距离框架，将佩雷尔曼的伪局部性定理推广至轨道丛里奇流。
• 通过在曲率与体积有界条件下对流序列进行精化，建立了轨道丛上里奇流的弱紧致性定理。
• 引入了凯勒-里奇流的“驯服性”条件，其定义基于 $K_Y^{-\nu}$ 的全纯截面的 $L^2$-范数相关函数的统一有界性。
• 利用 $\alpha_{\nu,k}$-不变量作为奇点的代数障碍，并将其应用于验证收敛性条件。
• 通过利用 [31]、[46] 和 [11] 的结果，计算特定轨道丛的 $\alpha_{\nu,1}$ 与 $\alpha_{\nu,2}$。
• 运用 $\mu$-泛函与部分 $C^0$-估计来控制曲率，并在驯服性与 $\alpha_{\nu,k}$-界条件下确保收敛至凯勒-爱因斯坦度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 佩雷尔曼的伪局部性定理是否对具有有限奇点的轨道丛上里奇流成立？
• RQ2 在曲率与体积有界条件下，能否在轨道丛上建立里奇流的弱紧致性定理？
• RQ3 在何种条件下，法诺轨道丛上的凯勒-里奇流会收敛至凯勒-爱因斯坦度量？
• RQ4 $\alpha_{\nu,k}$-不变量能否用于验证驯服性条件并确保收敛？
• RQ5 特定的法诺轨道丛，如具有一个普通双重点的三次曲面，或具有 $\mathbb{A}_k$ 奇点的度数为 1 的德尔皮诺轨道丛，是否可通过凯勒-里奇流实现凯勒-爱因斯坦度量的存在？

主要发现

• 佩雷尔曼的伪局部性定理对具有有限奇点的紧致轨道丛上的里奇流成立。
• 在自然的曲率与体积有界条件下，建立了轨道丛里奇流的弱紧致性定理。
• 对于满足 $\alpha_{\nu,1} > \frac{2}{3}$ 或 $\alpha_{\nu,2} > \frac{2}{3}$ 且 $\alpha_{\nu,1} > \frac{1}{2 - \frac{1}{3\alpha_{\nu,2}}}$ 的法诺轨道丛，凯勒-里奇流收敛于凯勒-爱因斯坦度量。
• 具有一个普通双重点的三次曲面上的凯勒-里奇流收敛于凯勒-爱因斯坦度量。
• 具有仅 $\mathbb{A}_k$ 奇点（$k \leq 6$）的度数为 1 的德尔皮诺轨道丛上的凯勒-里奇流收敛于凯勒-爱因斯坦度量。
• 通过流的方法证明了此类轨道丛上凯勒-爱因斯坦度量的存在性，从而将卡拉比猜想推广至轨道丛情形。