[论文解读] Riemannian Foliations and the Topology of Lorentzian Manifolds

Kordian Lärz|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文研究了配备平行光锥向量场的洛伦兹流形的拓扑结构，表明此类结构诱导出一个余维一的黎曼叶状结构。在横截 Ricci 曲率非负且流形紧致的条件下，建立了第一贝蒂数的精确界限：对于紧致流形有 $1 \leq b_1 \leq \dim X$，对于非紧致流形有 $0 \leq b_1 \leq \dim X - 1$，且这些界限被证明是最优的。此外，本文对具有有限基本群的紧致叶的仿射表示进行了分类。

ABSTRACT

A parallel lightlike vector field on a Lorentzian manifold $X$ naturally defines a foliation $\mathcal{F}$ of codimension one. If either all leaves of $\mathcal{F}$ are compact or $X$ itself is compact admitting a compact leaf and the (transverse) Ricci curvature is non-negative then a Bochner type argument implies that the first Betti number of $X$ is bounded by $1 \leq b_{1} \leq \dim X$ if $X$ is compact and $0 \leq b_{1} \leq \dim X -1$ otherwise. We show that these bounds are optimal and depending on the holonomy of $X$ we obtain further results. Finally, we classify the holonomy representations for those $X$ admitting a compact leaf with finite fundamental group.

研究动机与目标

• 分析 admits 平行光锥向量场的洛伦兹流形的拓扑约束。
• 在紧致性与横截 Ricci 曲率非负的条件下，建立第一贝蒂数 $b_1$ 的精确界限。
• 对具有有限基本群的紧致叶的时空，分类其仿射表示。
• 探讨叶状结构理论、仿射表示与洛伦兹几何在 pp-wave 与合理时空背景下的相互作用。

提出的方法

• 本文使用由平行光锥子丛 $\Xi$ 的正交补导出的典范屏幕丛 $\mathcal{S}$，其配备诱导的黎曼度量与联络。
• 通过 $\Xi$ 的正交分布定义一个余维一的叶状结构 $\mathcal{X}^\perp$，并研究其基本上同调 $H^k_B(\mathcal{X}^\perp)$。
• 对横截 Ricci 曲率与屏幕丛的仿射表示应用类 Bochner 论证，以约束贝蒂数。
• 利用 Gysin 序列与 Mayer-Vietoris 论证，将叶状结构的上同调与流形的整体上同调联系起来。
• 对于复结构，本文通过 $\nabla^S$-平行的几乎复结构与一个完备向量场 $Z$，在万有覆盖上构造锥度量与几乎殆复结构。
• 通过验证当 $d(g^L(Z,\cdot))|_{\mathcal{L}^\perp} \in \Lambda^{1,1}_B\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}$ 时，Nijenhuis 张量为零，证明了几乎复结构的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有平行光锥向量场与非负横截 Ricci 曲率的洛伦兹流形上，其拓扑约束是什么？
• RQ2 对流形或其叶的紧致性假设如何影响时空的贝蒂数？
• RQ3 在何种条件下，水平时空的万有覆盖上会存在复结构？
• RQ4 在具有有限基本群的紧致叶的此类时空中，其仿射表示的分类是什么？
• RQ5 叶状结构的基本上同调群与周围流形的奇异上同调之间有何关系？

主要发现

• 在给定的曲率与紧致性假设下，若流形紧致，则第一贝蒂数满足 $1 \leq b_1 \leq \dim X$；若非紧致，则 $0 \leq b_1 \leq \dim X - 1$。
• 通过本文中明确的构造，证明了这些 $b_1$ 的界限是最优的。
• 对于紧致 $X$，有 $b_2(X) \leq \dim H^2_B(\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}) + 1$；对于具有紧致叶的非紧致 $X$，有 $b_2(X) \in \{\dim H^2_B(\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}) - 1, \dim H^2_B(\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp})\}$。
• 若屏幕丛的仿射表示为 $SU(n)$ 且 $n \geq 3$，则 $b_2(X)$ 的界限中 $\dim H^2_B$ 可替换为 $\dim H^{1,1}_B$。
• 若仿射表示为 $Sp(n)$ 且 $n \geq 1$，则 $b_2(X)$ 的界限中 $\dim H^2_B$ 可替换为 $\dim H^{1,1}_B + 2$。
• 当 $d(g^L(Z,\cdot))|_{\mathcal{L}^\perp} \in \Lambda^{1,1}_B\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}$ 且 $Z$ 完备时，$X$ 的万有覆盖上存在复结构。