[论文解读] Riemannian metrics having common geodesics with Berwald metrics

Vladimir S. Matveev|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用 12

一句话总结

本文证明了每个Berwald Finsler度量都存在一个与之仿射等价的黎曼度量，推广了此前关于严格凸度量的结果。此外，本文证明在完备性条件下，本质上Berwald度量与黎曼度量之间的测地等价蕴含仿射等价，并表明任何射影平坦的Berwald度量必为Minkowski度量——这为希尔伯特第四问题提供了Finsler几何的类比。

ABSTRACT

In Theorem 1, we generalize the results of Szabo for Berwald metrics that are not necessary strictly convex: we show that for every Berwald metric F there always exists a Riemannian metric affine equivalent to F. As an application we show (Corollary 3) that every Berwald projectively flat metric is a Minkowski metric; this statement is a "Berwald" version of Hilbert's 4th problem. Further, we investigate geodesic equivalence of Berwald metrics. Theorem 2 gives a system of PDE that has a (nontrivial) solution if and only if the given essentially Berwald metric admits a Riemannian metric that is (nontrivially) geodesically equivalent to it. The system of PDE is linear and of Cauchy-Frobenius type, i.e., the derivatives of unknown functions are explicit expressions of the unknown functions. As an application (Corollary 2), we obtain that geodesic equivalence of an essentially Berwald metric and a Riemannian metric is always affine equivalence provided both metrics are complete.

研究动机与目标

• 将Szabó关于严格凸Berwald度量与黎曼度量之间仿射等价性的结果推广到非严格凸情形。
• 研究黎曼度量与本质上Berwald度量之间测地等价或仿射等价的条件。
• 通过证明射影平坦的Berwald度量必为Minkowski度量，建立Finsler几何中希尔伯特第四问题的类比。
• 推导刻画本质上Berwald度量与非平凡黎曼度量之间测地等价性的偏微分方程组。
• 证明在完备性条件下，本质上Berwald度量与黎曼度量之间的测地等价蕴含仿射等价。

提出的方法

• 通过受[MRTZ]启发并适配于非严格凸情形的构造方法，构建一个与给定Berwald度量$ F $仿射等价的黎曼度量$ g $。
• 推导刻画本质上Berwald度量存在非平凡测地等价黎曼度量的线性Cauchy-Frobenius型偏微分方程组（方程6）。
• 利用可动度概念及[KM]中的结果，分析该PDE系统的解结构，特别关注对称张量$ a^{ij} $与向量场$ heta^i $的行为。
• 应用经典Beltrami定理，证明若一个黎曼度量$ g $与平坦度量$ \bar{g} $测地等价，且同时与Berwald度量$ F $仿射等价，则$ g $必具有常曲率。
• 证明在完备性条件下，$ g $的Holonomy群在单位球面上作用传递，除非$ g $为平坦度量，这迫使$ F $为平移不变度量，从而为Minkowski度量。
• 利用PDE系统解的线性无关性与Weyl定理，证明辅助方程中的常数$ B $必须为零，从而得出测地等价蕴含仿射等价的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个Berwald度量是否都存在一个与之仿射等价的黎曼度量，即使不满足严格凸性？
• RQ2 在何种条件下，黎曼度量可与本质上Berwald度量测地等价但不仿射等价？
• RQ3 每个射影平坦的Berwald度量是否必为Minkowski度量，作为希尔伯特第四问题的Finsler类比？
• RQ4 刻画本质上Berwald度量与非平凡黎曼度量之间测地等价性的PDE系统为何？
• RQ5 度量的完备性是否意味着本质上Berwald度量与黎曼度量之间的测地等价强制导致仿射等价？

主要发现

• 每个Berwald度量都存在一个与之仿射等价的黎曼度量，即使不需严格凸性条件。
• 若一个黎曼度量与本质上Berwald度量测地等价，且两者均完备，则它们也必仿射等价。
• 任何射影平坦的Berwald度量必为Minkowski度量，为希尔伯特第四问题提供了Finsler几何类比。
• 存在非平凡黎曼度量与本质上Berwald度量测地等价，当且仅当一个线性Cauchy-Frobenius型PDE系统有解。
• 控制测地等价的PDE系统仅有在关联的对称张量与向量场满足特定曲率相关恒等式时才有解，且辅助方程中的常数$ B $必须为零。
• 当测地等价非平凡时，黎曼度量的可动度至少为三，意味着存在丰富的等价度量结构。