[论文解读] Rigidity of Julia sets for Henon type maps

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 56被引用 7

一句话总结

本文通过证明Green当前 $T_+$ 是在 $\mathbb{C}^2$ 上Hénon型映射及紧致Kähler曲面上自同构的Julia集上唯一满足质量为1的正 $dd^c$-闭 $(1,1)$-当前，建立了Julia集的刚性。该结果可推广至高维动力系统，依赖于全纯势论与上同调分析，应用于等分布与Nevanlinna理论。

ABSTRACT

We prove that the Julia set of a Henon type automorphism on C^2 is very rigid: it supports a unique positive ddc-closed current of mass 1. A similar property holds for the cohomology class of the Green current associated with an automorphism of positive entropy on a compact Kaehler surface. Relations between this phenomenon, several quantitative equidistribution properties and the theory of value distribution will be discussed. We also survey some rigidity properties of Henon type maps on C^k and of automorphisms of compact Kaehler manifolds.

研究动机与目标

• 建立Green当前 $T_+$ 作为在 $\mathbb{C}^2$ 上Hénon型映射的Julia集上唯一满足质量为1的正 $dd^c$-闭 $(1,1)$-当前的唯一性。
• 将此刚性结果推广至紧致Kähler曲面上的自同构，证明Green当前在其上同调类中唯一。
• 探讨刚性、Nevanlinna理论与全纯曲线迭代下等分布之间的联系。
• 将刚性结果推广至高维多项式自同构及维度 $k \geq 2$ 的紧致Kähler流形上的自同构。
• 在上同调距离的术语下，提供当前收敛至Green当前的速度的定量估计。

提出的方法

• 使用全纯势论与超势能技术分析复流形上的正闭当前。
• 应用 $dd^c$-闭性条件，刻画在Julia集 $K_+$ 上支撑的唯一当前。
• 通过适当加权的全纯映射 $\phi: \mathbb{C} \to K_+$ 的平均构造Nevanlinna当前 $\tau_r$。
• 利用上同调估计与诱导作用 $f^*$ 在 $H^{q,q}(X,\mathbb{R})$ 上的谱分析证明刚性。
• 通过当前上同调类之间的距离 $\|c - c_+\|$ 推导出收敛速度的定量界限。
• 利用Gromov、Yomdin等人关于动力度的对数凹性与贝蒂数给出的熵界结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^2$ 上Hénon型映射的Julia集上，Green当前 $T_+$ 是否是唯一满足质量为1的正 $dd^c$-闭 $(1,1)$-当前？
• RQ2 Green当前的唯一性能否推广至紧致Kähler曲面上的自同构？若能，其上同调条件为何？
• RQ3 与全纯映射 $\phi: \mathbb{C} \to X$ 关联的Nevanlinna当前在何种条件下收敛至Green当前 $T_+$，收敛程度如何？
• RQ4 Green当前的上同调刚性如何与 $f^*$ 在上同调上的动力度及谱性质相关联？
• RQ5 在上同调距离的术语下，当前收敛至Green当前的速度可建立何种定量界限？

主要发现

• 对于 $\mathbb{C}^2$ 上的Hénon型映射，Green当前 $T_+$ 是在 $K_+$ 上唯一满足质量为1的正 $dd^c$-闭 $(1,1)$-当前。
• 对于具有正熵的紧致Kähler曲面自同构，$T_+$ 是其上同调类 $\{T_+\}$ 中唯一的正 $dd^c$-闭当前。
• 若 $\phi: \mathbb{C} \to X$ 满足 $\phi^*(T_+) = 0$，则关联的Nevanlinna当前 $\tau_r$ 满足当 $r \to \infty$ 时收敛至 $T_+$。
• 建立了定量估计：对任意 $\mathscr{C}^2$ 测试形式 $\varphi$，有 $|\langle S - T_+, \varphi \rangle| \leq A\|c - c_+\|^\alpha \|\varphi\|_{\mathscr{C}^2}$。
• 在条件 $d_2 < d_1^2$ 下，$(1,1)$-型Green当前在缩放意义下唯一，其上同调类具有极强的刚性。
• 映射 $f$ 的拓扑熵为 $\log d_p$，且存在唯一的最大熵测度，该测度具有指数混合性。