[论文解读] Super-potentials for currents on compact Kaehler manifolds and dynamics of automorphisms

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|Apr 5, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用 22

一句话总结

本文引入超势能作为紧致凯勒流形上正闭 $(p,p)$-当前的典范函数，构建了一套克服现有理论局限的微积分体系。该框架被应用于全纯自同构，证明了格林当前与平衡测度的正则性、唯一性及双曲性，以及通过超势能技术获得的最大熵与遍历性结果。

ABSTRACT

We introduce a notion of super-potential (canonical function) associated to positive closed (p,p)-currents on compact Kaehler manifolds and we develop a calculus on such currents. One of the key points in our study is the use of deformations in the space of currents. As an application, we obtain several results on the dynamics of holomorphic automorphisms: regularity and uniqueness of the Green currents. We also get the regularity, the entropy, the ergodicity and the hyperbolicity of the equilibrium measures.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{P}^k$ 中传统势论不再适用的背景下，发展紧致凯勒流形上正闭 $(p,p)$-当前的微积分体系。
• 通过在当前空间上引入对称、拟上半连续的超势能函数，解决 $p>1$ 时势能的非唯一性与缺乏点态定义的问题。
• 利用超势能建立正闭当前的稳健相交理论。
• 将超势能框架应用于全洁自同构，证明格林当前与平衡测度的正则性、唯一性及动力性质。
• 将关于平衡测度的熵、混合性与双曲性的结果推广至一般紧致凯勒流形。

提出的方法

• 将超势能 $\mathscr{U}_S(R)$ 定义为 $\langle S, U_R \rangle$，其中 $U_R$ 是满足 $dd^c U_R = R$ 且经归一化的解，从而在上同调类上定义对称且良定义的函数。
• 通过在当前空间中的形变来定义并分析超势能，尤其针对与零上同调类同调的当前。
• 应用 Yomdin 的动力球体积估计控制测度衰减并推导熵的下界。
• 通过正形式的平均拉回的弱极限构造平衡测度，并利用超势能控制确保收敛性。
• 在结构假设下，通过证明其超势能的 Hölder 连续性，建立格林当前的正则性。
• 结合 Brin-Katok 引理与 Misiurewicz 型熵估计，证明平衡测度具有最大熵与混合性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当经典势论因 $p>1$ 时势能的非唯一性与无界性而失效时，能否在一般紧致凯勒流形上为正闭 $(p,p)$-当前建立良好定义的微积分？
• RQ2 是否能通过超势能定义正闭当前的对称、不变相交理论？
• RQ3 全洁自同构在紧致凯勒流形上的格林当前是否具有唯一的上同调类及 Hölder 连续的超势能？
• RQ4 能否通过超势能技术证明与全洁自同构相关的平衡测度具有最大熵、遍历性并表现出双曲性？
• RQ5 在何种条件下，平均动力拉回的弱极限能产生最大熵的不变测度？

主要发现

• 超势能 $\mathscr{U}_S(R)$ 良好定义且对称，不依赖于 $U_S$ 或 $U_R$ 的选择，从而在当前上实现稳健的微积分体系。
• 在正则性假设下，全洁自同构的格林当前 $T_q$ 在其上同调类中唯一，且其超势能为 Hölder 连续。
• 与全洁自同构相关的平衡测度 $\nu$ 是不变的、遍历的、混合的，且具有最大熵 $\log d_p$，其中 $d_p$ 为第 $p$ 个动力度量。
• 通过 Yomdin 的体积估计与 Misiurewicz 的引理，本文证明了正形式的平均拉回的弱极限产生最大熵 $\log d_p$ 的测度。
• 平衡测度具有双曲性，即几乎处处具有正的 Lyapunov 指数，这是其熵与混合性质的直接推论。
• 超势能框架使得在正则性条件下可定义正闭当前的楔积 $S_1 \wedge S_2$，将相交理论从 $\mathbb{P}^k$ 推广至一般情形。