[论文解读] Rota-Baxter operators on BiHom-associative algebras and related structures

Ling Liu, Abdenacer Makhlouf+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文引入了双霍姆-结合代数上的罗塔-巴克斯特算子，并发展了相关结构的理论，如双霍姆- dendriform、双霍姆-齐恩比埃尔和双霍姆-四元代数。研究证明，若罗塔-巴克斯特算子与结构映射 $\alpha$ 和 $\beta$ 可交换，则新乘法 $a*b = R(a)\cdot b + a\cdot R(b) + \lambda a\cdot b$ 定义了一个新的双霍姆-结合代数，提供了范畴论框架，并构造了自由的罗塔-巴克斯特双霍姆-结合代数。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study Rota-Baxter operators for BiHom-associative algebras. Moreover, we introduce and discuss the properties of the notions of BiHom-(tri)dendriform algebra, BiHom-Zinbiel algebra and BiHom-quadri-algebra. We construct the free Rota-Baxter BiHom-associative algebra and present some observations about categories and functors related to Rota-Baxter structures.

研究动机与目标

• 研究双霍姆-结合代数上的罗塔-巴克斯特算子，将经典罗塔-巴克斯特理论推广至双霍姆设定。
• 定义并研究新的代数结构，如双霍姆-(三)dendriform、双霍姆-Zinbiel 和双霍姆-quadri-algebras，作为罗塔-巴克斯特算子的自然伴生结构。
• 建立罗塔-巴克斯特构造保持双霍姆-结合代数结构的充分条件，特别是当算子与结构映射 $\alpha$ 和 $\beta$ 可交换时。
• 构造自由的罗塔-巴克斯特双霍姆-结合代数，并探讨其范畴性质。

提出的方法

• 在双霍姆-结合代数 $(A, \cdot, \alpha, \beta)$ 上引入权重为 $\lambda$ 的罗塔-巴克斯特算子的概念，满足对所有 $x,y \in A$ 有 $R(x)\cdot R(y) = R(R(x)\cdot y + x\cdot R(y) + \lambda x\cdot y)$。
• 通过引入两个结构映射 $\alpha$ 和 $\beta$，将经典 dendriform 和 Zinbiel 代数推广为双霍姆-(三)dendriform、双霍姆-Zinbiel 和双霍姆-quadri-algebras。
• 应用雅乌扭变构造，从已有代数生成新的双霍姆-代数，在特定相容性条件下保持代数结构。
• 使用弱双霍姆-伪扭变器刻画罗塔-巴克斯特算子与双霍姆-结合乘法的相容性，确保新乘法下的封闭性。
• 通过泛代数方法构造自由的罗塔-巴克斯特双霍姆-结合代数，证明其满足罗塔-巴克斯特双霍姆-结合代数范畴中自由对象的泛性质。
• 建立罗塔-巴克斯特算子与弱双霍姆-伪扭变器之间的联系，证明可交换的罗塔-巴克斯特算子通过伪扭变器的复合可诱导出新的双霍姆-结合代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双霍姆-结合代数 $(A, \cdot, \alpha, \beta)$ 上的罗塔-巴克斯特算子 $R$ 通过乘法 $a*b = R(a)\cdot b + a\cdot R(b) + \lambda a\cdot b$ 诱导出一个新的双霍姆-结合代数？
• RQ2 经典 dendriform、Zinbiel 和 quadri-algebras 的概念如何在双霍姆设定下推广，以形成双霍姆-(三)dendriform、双霍姆-Zinbiel 和双霍姆-quadri-algebras？
• RQ3 自由的罗塔-巴克斯特双霍姆-结合代数的结构是什么？它如何与罗塔-巴克斯特代数理论中的函子和范畴相关联？
• RQ4 弱双霍姆-伪扭变器与罗塔-巴克斯特算子之间有何关系？它们能否用于从可交换的罗塔-巴克斯特算子构造新的双霍姆-结合代数？

主要发现

• 若双霍姆-结合代数 $(A, \cdot, \alpha, \beta)$ 上的罗塔-巴克斯特算子 $R$ 与两个结构映射 $\alpha$ 和 $\beta$ 可交换，则其通过乘法 $a*b = R(a)\cdot b + a\cdot R(b) + \lambda a\cdot b$ 诱导出一个新的双霍姆-结合代数 $(A, *, \alpha, \beta)$，当且仅当该条件成立，且新乘法满足双霍姆-结合性。
• 本文构造了自由的罗塔-巴克斯特双霍姆-结合代数，确立了其泛性质，并为这类代数提供了范畴论框架。
• 双霍姆-(三)dendriform、双霍姆-Zinbiel 和双霍姆-quadri-algebras 被引入，并通过雅乌扭变构造与伴随函子关系证明其与罗塔-巴克斯特算子密切相关。
• 由可交换的罗塔-巴克斯特算子 $R$ 和 $P$ 所诱导的两个弱双霍姆-伪扭变器 $T$ 和 $D$ 的复合 $T\circ D$ 生成一个新的弱双霍姆-伪扭变器，其对应乘法为 $a*b = R(P(a))\cdot b + R(a)\cdot P(b) + P(a)\cdot R(b) + a\cdot R(P(b))$，且该乘法定义了一个双霍姆-结合代数。
• 本文证明，若两个权重为 0 的罗塔-巴克斯特算子 $R$ 和 $P$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 可交换，且彼此可交换，则其诱导的乘法 $a*b = R(P(a))\cdot b + R(a)\cdot P(b) + P(a)\cdot R(b) + a\cdot R(P(b))$ 定义了一个双霍姆-结合代数。
• 该理论通过计算机代数系统计算的显式例子得到支持，展示了在低维情形下构造的实用性。