[论文解读] Rotation set and Entropy

Heber Enrich, Nancy Guelman+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了Llibre与MacKay在1991年结果的逆定理：对于同伦于恒等映射的$C^{1+eta}$微分同胚，若该映射是拓扑传递且不可约的，则正拓扑熵蕴含旋转集具有非空内部。该结果在特定拓扑约束下，将动力复杂性（熵）与几何结构（旋转集内部）联系起来。

ABSTRACT

In 1991 Llibre and MacKay proved that if $f$ is a 2-torus homeomorphism isotopic to identity and the rotation set of $f$ has a non empty interior then $f$ has positive topological entropy. Here, we give a converselike theorem. We show that the interior of the rotation set of a 2-torus $C^{1+ α}$ diffeomorphism isotopic to identity of positive topological entropy is not empty, under the additional hypotheses that $f$ is topologically transitive and irreducible. We also give examples that show that these hypotheses are necessary.

研究动机与目标

• 建立Llibre与MacKay 1991年结果的逆定理，该结果表明旋转集内部非空蕴含正拓扑熵。
• 研究同伦于恒等映射的$C^{1+\alpha}$环面微分同胚中，正拓扑熵是否蕴含旋转集具有非空内部。
• 识别使该逆定理成立的最小拓扑与动力条件，特别是拓扑传递性与不可约性。
• 阐明不变集与拓扑结构在决定旋转集几何形状中的作用。

提出的方法

• 作者分析同伦于恒等映射的$C^{1+\alpha}$微分同胚$f$的提升$\tilde{f}$的旋转集$\rho(\tilde{f})$。
• 他们利用旋转集作为迭代中平均位移向量闭包交集的刻画：$\rho(\tilde{f}) = \bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{n\geq i} \left\{ \frac{\tilde{f}^n(\tilde{x}) - \tilde{x}}{n} \right\}}$。
• 证明依赖于拓扑传递性与不可约性假设，以排除可能迫使旋转集退化为线段或点的不变集。
• 应用Franks与Misiurewicz关于旋转集内部有理点可由周期点实现的结果。
• 构造反例以表明拓扑传递性与不可约性假设对逆定理成立是必要的。
• 论证中使用爆破技巧与流的时间变换构造反例，显示当假设被违反时，熵为正但旋转集内部为空。

实验结果

研究问题

• RQ1 同伦于恒等映射的$C^{1+\alpha}$环面微分同胚中，正拓扑熵是否蕴含旋转集具有非空内部？
• RQ2 何种拓扑或动力条件可确保正熵导致旋转集具有非空内部？
• RQ3 该逆定理由Llibre与MacKay原始定理的假设是否可在更弱条件下成立？
• RQ4 不变集——尤其是本质或非平凡嵌入的圆周——如何影响旋转集的几何形状？
• RQ5 不可约性在防止旋转集虽具正熵却退化为线段或点的过程中起何种作用？

主要发现

• 对于同伦于恒等映射的$C^{1+\alpha}$环面微分同胚，若其为拓扑传递且不可约，则即使熵为正，其旋转集也具有非空内部。
• 该结果为Llibre与MacKay 1991年定理提供了逆定理，后者曾证明旋转集内部非空蕴含正拓扑熵。
• 反例表明拓扑传递性与不可约性假设是必要的：若无此假设，正熵并不蕴含旋转集具有非空内部。
• 存在非同伦于零的不变圆周可导致旋转集内部为空，即使熵为正。
• 通过爆破固定点或周期轨道的构造表明，旋转集在该类变换下保持不变，这有助于解释为何某些正熵映射的旋转集内部为空。
• 本文确认旋转集本身一般不是共轭不变量，但具有非空内部旋转集的性质在同伦共轭下是不变的。